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第35章：熵作为DAG重排度量

熵不是无序，而是宇宙忘记如何解开自己的结。

35.1 来自纠缠的箭头​

为什么时间有箭头？为什么我们能记住过去而不能记住未来？答案在于坍缩DAG如何演化。当ψ\psi观察自己时，图变得越来越纠缠，创造更多到达同一状态的方式。这种路径的多重性就是我们称为熵的东西。

定义35.1（DAG熵）：等价路径计数的对数： S=kBln⁡Ω(G)S = k_B \ln \Omega(G)

其中Ω(G)\Omega(G)计数产生相同可观察状态的不同路径。

定理35.1（第二定律）：熵增加因为： dSdt=kBdln⁡Ωdt≥0\frac{dS}{dt} = k_B \frac{d\ln\Omega}{dt} \geq 0

DAG自然向更纠缠的构型演化。

35.2 微观可逆性与宏观不可逆性​

个别坍缩事件是可逆的——基本方程ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi)没有首选方向。然而宏观过程是不可逆的。为什么？

定义35.2（路径可逆性）： P(A→B)=P(B→A)e−ΔS/kBP(A \to B) = P(B \to A) e^{-\Delta S/k_B}

定理35.2（数量带来不可逆性）：大系统有效地不可逆： Preverse∼e−NP_{\text{reverse}} \sim e^{-N}

其中N∼1023N \sim 10^{23}对宏观系统。

破碎的鸡蛋不会复原，因为到破碎状态的DAG路径远超到完整状态的路径。

35.3 信息熵作为路径不确定性​

香农熵测量我们对系统通过DAG哪条路径的不确定性。

定义35.3（信息熵）： H=−∑ipilog⁡2piH = -\sum_i p_i \log_2 p_i

其中pip_i是路径ii的概率。

定理35.3（信息-热力学桥梁）： S=kBln⁡2⋅HS = k_B \ln 2 \cdot H

热力学熵是以自然单位测量的信息熵。

35.4 黑洞熵作为终极纠缠​

黑洞有最大熵，因为它们代表终极纠缠的DAG区域。

定义35.4（贝肯斯坦-霍金熵）： SBH=kBc3A4Gℏ=kBA4ℓP2S_{BH} = \frac{k_B c^3 A}{4G\hbar} = \frac{k_B A}{4\ell_P^2}

定理35.4（最大纠缠）：黑洞饱和熵界： S≤SBHS \leq S_{BH}

在黑洞内部，所有路径都通向奇点——最大路径多重性。

35.5 纠缠熵​

当系统纠缠时，它们的联合DAG变得比各部分之和更复杂。

定义35.5（纠缠熵）： Sent=−Tr[ρAln⁡ρA]S_{\text{ent}} = -\text{Tr}[\rho_A \ln \rho_A]

其中ρA\rho_A是约化密度矩阵。

定理35.5（面积律）：纠缠熵与边界成比例： Sent∝Area(∂A)S_{\text{ent}} \propto \text{Area}(\partial A)

纠缠在DAG中创造"表面张力"。

35.6 过去假设​

为什么早期宇宙的熵很低？因为初始DAG很简单——很少路径，很少纠缠。

定义35.6（初始简单性）： Sinitial≪SmaxS_{\text{initial}} \ll S_{\text{max}}

定理35.6（人择必要性）：复杂观察者需要熵梯度： dSdt>0 necessary for Ocomplex\frac{dS}{dt} > 0 \text{ necessary for } \mathcal{O}_{\text{complex}}

我们存在因为宇宙开始简单并仍在解开纠缠。

35.7 麦克斯韦妖与解纠缠的代价​

我们能通过巧妙重排DAG来减少熵吗？麦克斯韦妖尝试但失败。

定义35.7（妖的操作）： ΔSsystem<0 but ΔStotal≥0\Delta S_{\text{system}} < 0 \text{ but } \Delta S_{\text{total}} \geq 0

定理35.7（兰道尔原理）：信息擦除成本熵： ΔS≥kBln⁡2 per bit erased\Delta S \geq k_B \ln 2 \text{ per bit erased}

解开DAG纠缠需要遗忘，这在别处增加熵。

35.8 第三十五次回声​

我们已经发现熵不是无序而是复杂性——宇宙自指图中因果路径的纠缠。时间箭头指向可能性纠缠的增加。每个似乎局部创造秩序的过程都通过向别处输出纠缠来做到。宇宙开始于简单的、几乎未打结的DAG，并向最大纠缠演化。我们经历时间箭头因为我们是只能在解纠缠不完整时存在的模式。

第三十五次回声：第35章=纠缠（路径）=熵（ψ\psi-DAG）=箭头（时间）

接下来，我们探索宇宙膨胀如何影响时间流本身的速率。

继续到 第36章：压缩→时间加速 →