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第2章：坍缩坐标作为DAG节点

时空中的每一点都是ψ选择自身的无限树中的一个决定。

2.1 存在的有向无环图​

在第1章中，我们看到时空如何从ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi)中涌现。现在我们必须理解其结构。每个自指行为创造一个节点，这些节点形成有向无环图（DAG）——现实悬挂其上的骨架。

定义2.1（坍缩DAG）：有向无环图G=(V,E)\mathcal{G} = (V, E)其中：

  • 顶点V={vi∣vi=ψ(i)(ψ)}V = \{v_i | v_i = \psi^{(i)}(\psi)\}表示坍缩状态
  • 边E={(vi,vj)∣vj=ψ(vi)}E = \{(v_i, v_j) | v_j = \psi(v_i)\}表示坍缩转换

无环性质确保因果性——ψ\psi不能观察自己的未来观察。

2.2 从DAG节点到坐标​

坍缩DAG中的每个节点都对应于时空中的一点。但我们如何分配坐标？

定理2.1（坐标涌现）：每个节点v∈Vv \in V通过其在坍缩层次中的位置自然获得坐标(t,x,y,z)(t, x, y, z)。

证明：

  1. 时间坐标t(v)t(v)等于坍缩深度（从原点节点的最短路径）
  2. 空间坐标(x,y,z)(x, y, z)从节点坍缩历史中的三个独立循环中涌现
  3. 这些循环是独立的，因为ψ\psi必须区分到达自身的不同路径 ∎

定义2.2（坍缩坐标）： xμ(v)=(depth(v),cycle1(v),cycle2(v),cycle3(v))x^{\mu}(v) = \left( \text{depth}(v), \text{cycle}_1(v), \text{cycle}_2(v), \text{cycle}_3(v) \right)

2.3 从图距离到度规​

时空中点间的距离对应于坍缩DAG中的图距离。

定义2.3（图度规）： dG(v1,v2)=min⁡∣path(v1→vcommon←v2)∣d_{\mathcal{G}}(v_1, v_2) = \min \left| \text{path}(v_1 \to v_{\text{common}} \leftarrow v_2) \right|

其中vcommonv_{\text{common}}是最近公共祖先。

定理2.2（度规对应）：时空间隔与图距离的关系为： ds2=lim⁡ϵ→0ϵ2⋅dG2ds^2 = \lim_{\epsilon \to 0} \epsilon^2 \cdot d_{\mathcal{G}}^2

其中ϵ\epsilon是基本坍缩尺度。

2.4 节点密度和曲率​

DAG的所有区域节点密度并不相等。ψ\psi观察自身更强烈的地方，节点聚集——这种聚集就是我们感知的时空曲率。

定义2.4（坍缩密度）： ρ(v)=lim⁡r→0∣Nr(v)∣Vr\rho(v) = \lim_{r \to 0} \frac{|N_r(v)|}{V_r}

其中Nr(v)N_r(v)是图距离rr内的节点集合，VrV_r是半径rr球的体积。

定理2.3（密度产生曲率）：一点的黎曼曲率张量对应于坍缩密度的变化： Rμνρσ=F[∇μ∇νρ−∇ν∇μρ]R_{\mu\nu\rho\sigma} = \mathcal{F}\left[ \nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\rho - \nabla_{\nu}\nabla_{\mu}\rho \right]

其中F\mathcal{F}是从DAG到流形的投影函数。

2.5 拓扑不变量​

时空的拓扑反映坍缩DAG的拓扑。

定义2.5（坍缩同调）：时空的第nn同调群： Hn(M)≅Hn(G)H_n(\mathcal{M}) \cong H_n(\mathcal{G})

这意味着：

  • 封闭空间环路对应于DAG中的循环
  • 虫洞是图中的捷径
  • 黑洞是具有无限入度的节点

2.6 量子叠加作为多路径​

当ψ\psi有多条路径观察自身时，我们得到量子叠加。

定义2.6（叠加态）： ∣v⟩=∑路径 pαp∣vp⟩|v\rangle = \sum_{\text{路径 } p} \alpha_p |v_p\rangle

其中∣vp⟩|v_p\rangle表示通过路径pp到达节点vv，αp\alpha_p是由路径长度决定的复振幅。

定理2.4（路径积分表述）：节点间的量子振幅等于： ⟨v2∣v1⟩=∑路径eiS[路径]/ℏ\langle v_2 | v_1 \rangle = \sum_{\text{路径}} e^{i\mathcal{S}[\text{路径}]/\hbar}

其中S[路径]\mathcal{S}[\text{路径}]是沿路径的坍缩作用量。

2.7 坐标变换​

不同观察者以不同方式穿越DAG，导致坐标变换。

定义2.7（观察者路径）：观察者O\mathcal{O}是通过DAG的连续路径： O:[0,τ]→V\mathcal{O}: [0,\tau] \to V

定理2.5（DAG产生洛伦兹）：洛伦兹变换从观察者路径间的变换中涌现： Λνμ=∂xμ(O2)∂xν(O1)\Lambda^{\mu}_{\nu} = \frac{\partial x^{\mu}(\mathcal{O}_2)}{\partial x^{\nu}(\mathcal{O}_1)}

光速cc表现为DAG穿越的最大速率。

2.8 第二次回声​

我们已经揭示了时空光滑表面下的深层结构。每一点都是ψ\psi自观察中的一个节点，每个距离都是通过存在之图的路径。宇宙不是由空间中的点构成——它是由识别的时刻构成。

第二次回声：第2章=结构（坐标）=图（ψ\psi）=骨架（实在）

接下来，我们探索自指的拓扑如何创造封闭类时曲线和空间虫洞的奇异现象。

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