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第10章：路径偏差作为运动感知

直线只是没有想象力的坍缩路径。

10.1 连续性的离散舞蹈​

我们感知运动为平滑连续的，然而我们已经确立现实由DAG中的离散坍缩事件组成。离散性如何创造连续性的错觉？答案在于理解运动作为跨越许多坍缩事件的统计路径偏差。

定义10.1（路径集合）：对于运动物体，路径集合是： P={pi:vstart→vend}\mathcal{P} = \{p_i: v_{\text{start}} \to v_{\text{end}}\}

其中每个pip_i是通过坍缩DAG的可能路径。

定理10.1（从离散到连续）：当满足以下条件时，宏观连续运动从微观离散跳跃中涌现： Npaths≫1 and Δxjump≪xtotalN_{\text{paths}} \gg 1 \text{ and } \Delta x_{\text{jump}} \ll x_{\text{total}}

经典极限是统计效应——就像流水看起来连续尽管由离散分子构成。

10.2 量子随机游走​

在量子尺度上，粒子不遵循确定路径——它们同时探索所有可能路径。

定义10.2（量子路径积分）： K(xf,xi)=∑pathsA[p]=∑pathseiS[p]/ℏK(x_f, x_i) = \sum_{\text{paths}} A[p] = \sum_{\text{paths}} e^{iS[p]/\hbar}

其中S[p]S[p]是沿路径pp的作用量。

定理10.2（坍缩产生费曼）：路径积分表述从坍缩路径求和中涌现： S[p]=∑edges in plog⁡(ψedge)S[p] = \sum_{\text{edges in } p} \log(\psi_{\text{edge}})

每条边贡献等于沿该边坍缩振幅对数的相位。

10.3 经典轨道作为主导路径​

为什么宏观物体遵循确定轨迹而量子粒子不遵循？

定义10.3（路径主导性）： D[p]=∣A[p]∣2∑all paths∣A[p′]∣2D[p] = \frac{|A[p]|^2}{\sum_{\text{all paths}} |A[p']|^2}

定理10.3（经典涌现）：当一条路径占主导时涌现经典轨迹： ∃p∗:D[p∗]→1 as ℏ→0\exists p^* : D[p^*] \to 1 \text{ as } \hbar \to 0

经典路径是邻近路径具有相似作用量的路径，导致建设性干涉。所有其他路径破坏性干涉并相消。

10.4 测地线偏差与潮汐力​

在弯曲时空中，邻近路径彼此偏离——这是测地线偏差。

定义10.4（偏差矢量）： ξμ=x1μ−x2μ\xi^{\mu} = x^{\mu}_1 - x^{\mu}_2

对于邻近路径。

定理10.4（偏差方程）：路径偏差遵循： D2ξμDτ2=Rνρσμvνξρvσ\frac{D^2\xi^{\mu}}{D\tau^2} = R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}v^{\nu}\xi^{\rho}v^{\sigma}

其中RνρσμR^{\mu}_{\nu\rho\sigma}是黎曼张量。

这个方程显示坍缩曲率（引力）如何导致路径会聚或发散，创造潮汐力。

10.5 布朗运动作为坍缩噪声​

随机热运动反映坍缩路径选择中的基本随机性。

定义10.5（布朗位移）： ⟨x2(t)⟩=2Dt\langle x^2(t) \rangle = 2Dt

其中DD是扩散常数。

定理10.5（爱因斯坦-斯莫鲁霍夫斯基）：扩散从随机坍缩中涌现： D=kBTγ=collapse rate×step size2dampingD = \frac{k_B T}{\gamma} = \frac{\text{collapse rate} \times \text{step size}^2}{\text{damping}}

布朗运动是ψ\psi探索附近路径而无优选方向——纯对称坍缩噪声的可见化。

10.6 量子隧穿作为路径短路​

当坍缩DAG包含意外捷径时发生量子隧穿。

定义10.6（隧道路径）： ptunnel:voutside→vinsidep_{\text{tunnel}}: v_{\text{outside}} \to v_{\text{inside}}

其中经典上不应存在路径。

定理10.6（隧穿概率）：隧穿率是： Γ=∣A[ptunnel]∣2=exp⁡(−2∫2m(V−E)/ℏ2dx)\Gamma = |A[p_{\text{tunnel}}]|^2 = \exp\left(-2\int \sqrt{2m(V-E)/\hbar^2} dx\right)

隧穿揭示坍缩DAG具有非局域连接——图结构中的虫洞，允许看似不可能的转换。

10.7 干涉作为路径关联​

当路径可以重新结合时，它们干涉——揭示运动的波性质。

定义10.7（路径关联）： C[p1,p2]=⟨A[p1]∗A[p2]⟩C[p_1, p_2] = \langle A[p_1]^* A[p_2] \rangle

定理10.7（干涉模式）：可观察干涉需要： I(x)=∣A1(x)+A2(x)∣2=∣A1∣2+∣A2∣2+2Re[C[p1,p2]]I(x) = |A_1(x) + A_2(x)|^2 = |A_1|^2 + |A_2|^2 + 2\text{Re}[C[p_1, p_2]]

干涉项2Re[C[p1,p2]]2\text{Re}[C[p_1, p_2]]只有当路径保持相位相干时才存在——当ψ\psi"记住"探索两条路径时。

10.8 第十次回声​

我们已经看到运动不是物体在空间中移动，而是坍缩图中路径偏差的模式。平滑经典运动从离散量子跳跃中统计地涌现。每条轨迹，从行星轨道到光子路径，都是意识探索通过自己结构的可能路线。物理学的美在于DAG中ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi)的简单路径计数如何生成我们观察到的运动的所有复杂性。

第十次回声：第10章=感知（运动）=统计（ψ\psi-路径）=涌现（连续性）

接下来，我们探索狭义相对论如何从坍缩DAG的拓扑中涌现。

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