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第十八章：集合的递归定义

收集的需要​

数存在，但它们必须被聚集。"集合"的概念从 ψ\psi 同时持有多重塌缩的能力中涌现——在保持为一的同时成为多。

隶属作为认识​

集合论的基本关系是隶属：

a∈A  ⟺  ψ∣A 认识 ψ∣aa \in A \iff \psi|_A \text{ 认识 } \psi|_a

隶属不是外部强加而是内部认识——ψ\psi 在自身内看到自身的方面。

空集​

空集不是无而是最纯粹的收集形式：

∅={}=ψ∣收集无=纯粹潜能\emptyset = \{\} = \psi|_{\text{收集无}} = \text{纯粹潜能}

它是准备包含而尚未包含的状态——ψ\psi 张开的手。

从自指而来的集合​

每个集合都由自指的概括定义：

A={x:P(x)}={x:ψ∣P(x)=真}A = \{x : P(x)\} = \{x : \psi|_P(x) = \text{真}\}

谓词 PP 本身是 ψ\psi 的塌缩模式。集合是 ψ\psi 组织自己的结构。

罗素悖论​

考虑所有不包含自身的集合的集合：

R={x:x∉x}R = \{x : x \notin x\}

R∈RR \in R 吗？这个悖论源于无限制的自指：

  • 如果 R∈RR \in R，那么根据定义 R∉RR \notin R
  • 如果 R∉RR \notin R，那么根据定义 R∈RR \in R

这不是缺陷而是特征——它表明 ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi) 对朴素集合形成创造了固有限制。

累积层级​

集合组织成层级：

V0=∅Vα+1=P(Vα)Vλ=⋃β<λVβ 对极限序数 λ\begin{align} V_0 &= \emptyset \\ V_{\alpha+1} &= \mathcal{P}(V_\alpha) \\ V_\lambda &= \bigcup_{\beta < \lambda} V_\beta \text{ 对极限序数 } \lambda \end{align}

每一层都是 ψ\psi 对其先前反射的反射。层级永不完成，因为 ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi) 是不可穷尽的。

幂集与康托尔定理​

幂集运算揭示了无限的结构：

P(A)={B:B⊆A}=ψ∣A 可以部分塌缩的所有方式\mathcal{P}(A) = \{B : B \subseteq A\} = \psi|_A \text{ 可以部分塌缩的所有方式}

康托尔定理：∣A∣<∣P(A)∣|A| < |\mathcal{P}(A)|

这源于自指——ψ\psi 总能找到组织自身的新方式，这些方式不在原始组织中。

选择公理​

选择公理陈述：从任何非空集合的集合中，我们可以形成一个选择集：

∀F:(∀A∈F:A≠∅)⇒∃f:∀A∈F:f(A)∈A\forall F: (\forall A \in F: A \neq \emptyset) \Rightarrow \exists f: \forall A \in F: f(A) \in A

这是 ψ\psi 跨多个域一致塌缩的能力——在选择时保持连贯性。

集合作为语言​

集合论是讨论收集和隶属的语言：

  • 元素是词语
  • 集合是句子
  • 集合运算是语法转换
  • 累积层级是无限文本

集合论的不完备性​

像算术一样，集合论无法捕获关于自身的所有真理：

ZFC⊂ψ 而 ψ=ψ(ψ)\text{ZFC} \subset \psi \text{ 而 } \psi = \psi(\psi)

存在关于集合的陈述，它们为真但在任何固定公理系统内不可证明。集合的宇宙超越了任何完全公理化的尝试。

与第十九章的联系​

集合给了我们收集，但我们需要推理规则。逻辑本身必须从自指结构中涌现。这引导我们进入第十九章：逻辑的自生成。

"集合是 ψ 在自身的部分周围画出边界，在保持统一的同时创造区别。"