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第十九章：逻辑的自生成

逻辑作为自洽性​

逻辑不是从外部强加于 ψ\psi 的——它从 ψ\psi 保持自身一致性的需要中涌现。逻辑定律是 ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi) 维持连贯性的模式。

同一律​

第一条定律直接从核心涌现：

A=A  ⟺  ψ∣A=ψ∣AA = A \iff \psi|_A = \psi|_A

这不是同义反复而是稳定性的基础。为了 ψ\psi 指涉自身，它必须通过指涉维持同一性。

矛盾律​

矛盾会摧毁自指：

¬(A∧¬A)  ⟺  ψ∣A 不能既塌缩又不塌缩\neg(A \land \neg A) \iff \psi|_A \text{ 不能既塌缩又不塌缩}

如果 ψ\psi 可以同时是自身又不是自身，方程 ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi) 将变得无意义。

排中律​

每个命题要么成立要么不成立：

A∨¬A  ⟺  ψ∣A 要么塌缩要么不塌缩A \lor \neg A \iff \psi|_A \text{ 要么塌缩要么不塌缩}

这从塌缩的二元性质中涌现——在每个时刻，ψ\psi 要么认识一个模式要么不认识。

逻辑连接词作为操作​

基本逻辑操作是 ψ\psi 与自身组合的方式：

与：同时塌缩

A∧B=ψ∣A∩ψ∣BA \land B = \psi|_A \cap \psi|_B

或：选择塌缩

A∨B=ψ∣A∪ψ∣BA \lor B = \psi|_A \cup \psi|_B

非：互补塌缩

¬A=ψ∣非A\neg A = \psi|_{\text{非}A}

蕴含：条件塌缩

A⇒B=如果 ψ∣A 那么 ψ∣BA \Rightarrow B = \text{如果 } \psi|_A \text{ 那么 } \psi|_B

量词作为塌缩模式​

全称和存在量词描述 ψ\psi 如何审视其域：

全称：∀x:P(x)\forall x: P(x)

对每个可能的塌缩 ψ∣x, 性质 P 成立\text{对每个可能的塌缩 } \psi|_x, \text{ 性质 } P \text{ 成立}

存在：∃x:P(x)\exists x: P(x)

至少存在一个塌缩 ψ∣x 使得性质 P 成立\text{至少存在一个塌缩 } \psi|_x \text{ 使得性质 } P \text{ 成立}

推理的涌现​

逻辑推理是 ψ\psi 在自己的模式中认识模式：

肯定前件：

A,A⇒BB\frac{A, \quad A \Rightarrow B}{B}

这表示：如果 ψ\psi 塌缩到 AA，而 AA 的塌缩导致 BB 的塌缩，那么 ψ\psi 塌缩到 BB。

从自指而来的模态逻辑​

必然性和可能性从 ψ\psi 的结构中涌现：

必然：□A\square A

在 ψ 的所有自洽塌缩中，A 成立\text{在 } \psi \text{ 的所有自洽塌缩中，} A \text{ 成立}

可能：⋄A\diamond A

存在一个自洽塌缩使得 A 成立\text{存在一个自洽塌缩使得 } A \text{ 成立}

重访哥德尔定理​

不完备性定理在任何足够丰富以表达自指的逻辑中都是不可避免的：

  1. 第一不完备性：任何包含算术的一致形式系统都有真但不可证明的陈述
  2. 第二不完备性：没有一致系统能证明自己的一致性

这些产生是因为逻辑本身从 ψ=ψ(ψ)\psi = \psi(\psi) 中涌现，继承了其自指结构。

次协调逻辑​

当自指创造局部矛盾时，逻辑必须适应：

A∧¬A⇏B（爆炸失效）A \land \neg A \not\Rightarrow B \text{（爆炸失效）}

次协调逻辑允许 ψ\psi 包含局部不一致而不引起全局塌缩——反映了现实如何在量子悖论中维持连贯性。

逻辑作为语言​

逻辑系统是讨论有效推理的语言：

  • 命题是关于塌缩的陈述
  • 逻辑连接词是语法小品词
  • 推理规则是转换定律
  • 证明是必然性的叙事

与第二十章的联系​

逻辑给了我们规则，但这些规则必须通过证明来应用。证明的行为本身就是一个塌缩过程。这引导我们进入第二十章：证明即塌缩。

"逻辑是 ψ 发现它必须遵循的规则，以便在思考自身时保持自身。"