第4章：ψ 坐标：非度量结构位置
无距离的位置
在具有刚性坐标网格的度量空间之前，位置从坍缩场中的结构关系中涌现。ψ 坐标不是通过到任意原点的距离来定位结构，而是通过它们在坍缩网络中的关系位置。这创造了一个灵活、自适应的坐标系统，它匹配空间的实际结构，而不是强加外部网格。
4.1 结构位置
定义 4.1（ψ 坐标）： ψ 坐标是一个三元组 (λ, κ, τ)，其中：
- λ = 坍缩层索引
- κ = 层内的坍缩结标识符
- τ = 结振荡内的相位角
这唯一地定位任何点，而无需参考度量距离。
4.2 关系寻址
与测量到原点距离的笛卡尔坐标不同，ψ 坐标通过关系指定位置：
层关系：哪个坍缩壳包含该点 结关系：哪个稳定坍缩模式锚定它 相位关系：它在振荡周期中的位置
位置是结构的内在属性，而非强加的测量。
4.3 坐标变换
定理 4.1（ψ 坐标协变性）： 在保持坍缩的变换 T 下： 保持结构关系。
证明： 保持坍缩的变换维持层层级、结拓扑和相位关系。因此，尊重这些结构的坐标变换保持所有物理内容。∎
4.4 非度量邻域
在 ψ 坐标中，"邻近"是结构性的，而非度量的：
层邻近：在相同或相邻层中的点 结邻近：锚定到相同或耦合结的点 相位邻近：具有相似振荡相位的点
两点可以在度量上遥远但在结构上邻近，反之亦然。
4.5 坐标基向量
定义 4.2（ψ 基）： 任何点的自然基向量是：
这些分别指向层、结和相位变化的方向。
4.6 结构雅可比
从 ψ 坐标到任何度量坐标的变换涉及结构雅可比：
\frac{\partial x}{\partial λ} & \frac{\partial x}{\partial κ} & \frac{\partial x}{\partial τ} \\ \frac{\partial y}{\partial λ} & \frac{\partial y}{\partial κ} & \frac{\partial y}{\partial τ} \\ \frac{\partial z}{\partial λ} & \frac{\partial z}{\partial κ} & \frac{\partial z}{\partial τ} \end{pmatrix}$$ 这个雅可比编码了坍缩结构如何映射到常规空间。 ## 4.7 坐标奇点 ψ 坐标在以下位置有自然奇点： **层中心**：其中 κ → 0（结核心） **相位节点**：其中 τ 未定义（相位奇点） **壳边界**：其中 λ 转变 这些不是病态而是标记结构上重要的位置。 ## 4.8 多值区域 某些区域需要多值 ψ 坐标： **干涉区**：多个结声称同一区域 **过渡区域**：层之间 **涡旋核心**：相位多次缠绕 这种多值性反映了真实的结构复杂性。 ## 4.9 坐标动力学 ψ 坐标不是静态的而是演化的： $$\frac{d}{dt}(λ, κ, τ) = \vec{v}_ψ(λ, κ, τ)$$ 点可以改变层、在结之间迁移或移动相位，而无需在度量意义上"移动"。 ## 4.10 全局 vs 局部坐标 **局部 ψ 坐标**：在单个结的邻域内有效 **区域 ψ 坐标**：覆盖多个耦合结 **全局 ψ 坐标**：跨越整个坍缩结构 不同尺度需要不同的坐标片，创造结构图的图集。 ## 4.11 坐标不变量 **定理 4.2**（结构不变量）： 以下在坐标变换下不变： - 层深度差：Δλ - 结链接数：Link(κ₁, κ₂) - 相位环流：∮ dτ 这些不变量代表真实的结构关系。 ## 4.12 坐标视界 **原理 4.1**（坐标可达性）： 从任何点 (λ₀, κ₀, τ₀)，只有结构连接的坐标是可达的： $$\text{可达} = \{(λ, κ, τ) : \exists \text{ 坍缩结构中的连续路径}\}$$ 这创造了自然视界，坐标无法延伸到其外。 ### 计算框架 使用 ψ 坐标需要： **图算法**：导航结连接网络 **拓扑排序**：排序层并建立层级 **相位展开**：处理多值相位坐标 **图集管理**：在重叠图表之间协调 ### 物理含义 ψ 坐标揭示： - 为什么空间显得三维（三个结构自由度） - 非局域性如何产生（尽管度量距离但结构邻近） - 为什么某些区域看起来"特殊"（结构奇点） - 空间如何弯曲（变换的变化雅可比） ### 观测后果 非度量坐标的效应： - 星系位置的明显"跳跃"（结转变） - 量子化红移（层转变） - 宇宙中的优选方向（结构轴） - 异常聚类（结构邻近） ### 第四个基础 位置不是从抽象坐标网格而是从坍缩结构内的位置涌现。ψ 坐标提供反映实际空间组织的自然寻址，而不是强加的测量方案。从这个结构定位系统，所有几何性质都作为坍缩模式之间的关系而不是预先存在空间中的距离发展。 --- *下一章：[第5章：早期坍缩场中的边界起源 →](./chapter-05-boundary-genesis-early-fields.md)*