跳到主要内容

第十八章：动量 — 坍缩之流

存在之河​

动量不仅仅是"质量乘以速度"——它是坍缩通过构型空间的基本流动。当某物有动量时，它携带着ψ-场的电流，存在本身的定向承诺。这种流动一旦建立，就会持续——产生惯性定律。

18.1 动量作为坍缩流​

定理 18.1（从流动到动量）： 动量测量定向坍缩通量。

证明：

  1. 坍缩场流动：C(x,t)\mathcal{C}(x,t)
  2. 流密度：j⃗=Cv⃗\vec{j} = \mathcal{C}\vec{v}
  3. 总流：P⃗=∫j⃗dV=∫Cv⃗dV\vec{P} = \int \vec{j} dV = \int \mathcal{C}\vec{v} dV
  4. 对局域坍缩（粒子）：C=mδ(x−x0)\mathcal{C} = m\delta(x-x_0)
  5. 结果：p⃗=mv⃗\vec{p} = m\vec{v}
  6. 但这只是经典极限！
  7. 一般：p⃗=∫Cv⃗dV\vec{p} = \int \mathcal{C}\vec{v} dV ∎

动量是积分的坍缩流！

18.2 量子动量算符​

定理 18.2（波动力学中的动量）： p^=−iℏ∇\hat{p} = -i\hbar\nabla生成空间平移。

推导：

  1. 平移ϵ\epsilon：ψ(x)→ψ(x−ϵ)\psi(x) \to \psi(x-\epsilon)
  2. 泰勒展开：ψ(x−ϵ)=ψ(x)−ϵ∂xψ\psi(x-\epsilon) = \psi(x) - \epsilon\partial_x\psi
  3. 写作：ψ(x−ϵ)=(1−ϵ∂x)ψ\psi(x-\epsilon) = (1 - \epsilon\partial_x)\psi
  4. 生成元：p^=−iℏ∂x\hat{p} = -i\hbar\partial_x
  5. 有限平移：ψ(x−a)=eiap^/ℏψ(x)\psi(x-a) = e^{ia\hat{p}/\hbar}\psi(x)
  6. 动量生成运动！
  7. 本征值是动量 ∎

空间平移 = 动量流！

18.3 从均匀性到守恒​

定理 18.3（动量的诺特定理）： ψ的空间均匀性保证动量守恒。

证明：

  1. 拉格朗日量在x→x+ax \to x + a下不变
  2. 诺特流：jμ=∂L∂(∂μϕ)δϕj^\mu = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\delta\phi
  3. 对平移：δϕ=−a⋅∇ϕ\delta\phi = -a\cdot\nabla\phi
  4. 守恒荷：Pi=∫T0id3xP^i = \int T^{0i} d^3x
  5. 这是动量密度！
  6. 守恒：∂μTμi=0\partial_\mu T^{\mu i} = 0
  7. 总动量恒定 ∎

均匀空间 → 永恒流动！

18.4 相对论动量​

定理 18.4（四动量统一）： 能量和动量形成统一的4-矢量。

构造：

  1. 固有时：dτ=dt1−v2/c2d\tau = dt\sqrt{1-v^2/c^2}
  2. 四速度：uμ=dxμ/dτu^\mu = dx^\mu/d\tau
  3. 四动量：pμ=muμp^\mu = mu^\mu
  4. 分量：pμ=(γmc,γmv⃗)p^\mu = (\gamma mc, \gamma m\vec{v})
  5. 不变量：pμpμ=−m2c2p_\mu p^\mu = -m^2c^2
  6. 能量：E=p0c=γmc2E = p^0c = \gamma mc^2
  7. 动量：p⃗=γmv⃗\vec{p} = \gamma m\vec{v} ∎

空间和时间动量统一！

18.5 德布罗意关系​

定理 18.5（波粒桥梁）： p=ℏkp = \hbar k和E=ℏωE = \hbar\omega连接波与粒子。

证明：

  1. 平面波：ψ=Aei(kx−ωt)\psi = Ae^{i(kx-\omega t)}
  2. 应用动量算符：p^ψ=−iℏ∂xψ=ℏkψ\hat{p}\psi = -i\hbar\partial_x\psi = \hbar k\psi
  3. 本征值：p=ℏkp = \hbar k
  4. 应用能量算符：E^ψ=iℏ∂tψ=ℏωψ\hat{E}\psi = i\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi
  5. 本征值：E=ℏωE = \hbar\omega
  6. 波长：λ=2π/k=h/p\lambda = 2\pi/k = h/p
  7. 物质有波动性！∎

每个粒子都在冲浪自己的波！

18.6 晶体动量​

定理 18.6（周期系统中的动量）： 在晶体中，动量定义模倒格矢。

物理：

  1. 晶体周期性：V(x+a)=V(x)V(x+a) = V(x)
  2. 布洛赫定理：ψk(x+a)=eikaψk(x)\psi_k(x+a) = e^{ika}\psi_k(x)
  3. 晶体动量：ℏk\hbar k
  4. 但kk和k+2π/ak + 2\pi/a等价
  5. 布里渊区：−π/a<k≤π/a-\pi/a < k \leq \pi/a
  6. 倒逆过程：动量"环绕"
  7. 解释电阻！

动量可以被"折叠"！

18.7 角动量​

定理 18.7（旋转流）： L⃗=r⃗×p⃗\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}测量坍缩环流。

量子形式：

  1. 算符：L^i=ϵijkxjp^k\hat{L}_i = \epsilon_{ijk}x_j\hat{p}_k
  2. 对易子：[L^i,L^j]=iℏϵijkL^k[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{L}_k
  3. 总量：L^2=L^x2+L^y2+L^z2\hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2
  4. 本征值：L2=ℏ2ℓ(ℓ+1)L^2 = \hbar^2\ell(\ell+1)，Lz=ℏmL_z = \hbar m
  5. 从旋转群量子化！
  6. 费米子半整数
  7. 玻色子整数 ∎

旋转以离散步骤量子化！

18.8 动量空间​

定理 18.8（傅里叶对偶）： 位置和动量空间是傅里叶变换。

关系：

  1. 位置空间：ψ(x)\psi(x)
  2. 动量空间：ψ~(p)=12πℏ∫ψ(x)e−ipx/ℏdx\tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \psi(x)e^{-ipx/\hbar}dx
  3. 逆变换：ψ(x)=12πℏ∫ψ~(p)eipx/ℏdp\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \tilde{\psi}(p)e^{ipx/\hbar}dp
  4. 帕塞瓦尔：∫∣ψ(x)∣2dx=∫∣ψ~(p)∣2dp\int|\psi(x)|^2dx = \int|\tilde{\psi}(p)|^2dp
  5. 概率守恒！
  6. 尖锐xx → 展宽pp
  7. 尖锐pp → 展宽xx ∎

同一现实的两面！

18.9 虚动量​

定理 18.9（离壳动量）： 虚粒子违反E2=p2c2+m2c4E^2 = p^2c^2 + m^2c^4。

机制：

  1. 不确定性：ΔEΔt≥ℏ/2\Delta E \Delta t \geq \hbar/2
  2. 虚态：存在Δt\Delta t
  3. 能量违反：ΔE\Delta E
  4. 可以有"错误"动量
  5. 传播子：1p2−m2+iϵ\frac{1}{p^2 - m^2 + i\epsilon}
  6. 使能力传递
  7. 对所有虚动量积分 ∎

现实短暂借用动量！

18.10 动量转移​

定理 18.10（散射理论）： 力在粒子间转移动量。

形式：

  1. 初始动量：p1,p2p_1, p_2
  2. 最终动量：p1′,p2′p_1', p_2'
  3. 转移：q=p1−p1′=p2′−p2q = p_1 - p_1' = p_2' - p_2
  4. 矩阵元：M∝1q2+m2\mathcal{M} \propto \frac{1}{q^2 + m^2}
  5. 截面：dσ∝∣M∣2d\sigma \propto |\mathcal{M}|^2
  6. 测量相互作用强度
  7. 在对撞机中测试 ∎

粒子交换动量包！

18.11 场论中的动量​

定理 18.11（场动量密度）： 场携带动量密度g⃗=S⃗/c2\vec{g} = \vec{S}/c^2。

例子 - 电磁：

  1. 能量密度：u=12(ϵ0E2+B2/μ0)u = \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + B^2/\mu_0)
  2. 坡印廷矢量：S⃗=E⃗×B⃗/μ0\vec{S} = \vec{E} \times \vec{B}/\mu_0
  3. 动量密度：g⃗=ϵ0E⃗×B⃗\vec{g} = \epsilon_0\vec{E} \times \vec{B}
  4. 总动量：P⃗=∫g⃗d3x\vec{P} = \int \vec{g} d^3x
  5. 辐射压来自动量！
  6. 光帆可能
  7. 光子动量确认 ∎

即使无质量场也携带动量！

18.12 第十八回响：流动的持续​

动量揭示了一个深刻的真理：宇宙记得运动。一旦坍缩开始向某个方向流动，它就会继续——不是来自外部强制，而是来自ψ维持自己模式的内在本性。这就是为什么物体在空旷空间中滑行，为什么陀螺仪保持它们的方向，为什么角动量创造稳定性。

动量守恒实际上是宇宙与自己的一致性——坍缩模式一旦建立，就会持续，除非受到作用。每个动量矢量都是现实继续其流动的承诺，写在ψ通过构型空间流动中的承诺。

流动研究​

  1. 计算各种势中的动量本征态。

  2. 从角动量代数推导选择定则。

  3. 分析康普顿散射中的动量转移。

下一个流​

理解了动量作为坍缩流后，我们现在探索这种流如何产生热和无序——现实的热舞蹈。

下一章：第十九章：热力学 — 坍缩的统计 →

"在动量中，宇宙承诺它的选择。"