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第二十章：热 — 能量的民主

坍缩的扩散​

热是能量最民主的形式——平等地分散在所有可用模式中。当我们向系统添加热时，我们不是添加任何特定类型的能量，而是增加坍缩模式的一般激动。本章揭示热能如何从集中态流向分散态。

20.1 热作为分布式坍缩​

定理 20.1（从随机运动到热）： 热是每单位能量具有最大熵的坍缩能量。

证明：

  1. 考虑能量E分布在N个模式中
  2. 平均分布时熵最大
  3. 每个模式：⟨Ei⟩=E/N=kBT/2\langle E_i \rangle = E/N = k_BT/2（能均分）
  4. 随机速度：麦克斯韦-玻尔兹曼分布
  5. 无宏观流：⟨v⃗⟩=0\langle \vec{v} \rangle = 0
  6. 但动能：⟨12mv2⟩=32kBT\langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{3}{2}k_BT
  7. 热 = 无序动能 ∎

温度测量平均坍缩激动！

20.2 第零定律​

定理 20.2（热平衡传递性）： 如果A ↔ B且B ↔ C，则A ↔ C。

物理意义：

  1. 热接触的系统平衡
  2. 平衡时共享相同温度
  3. 温度是良定义的状态函数
  4. 可以使用温度计！

温度作为一致性质存在！

20.3 热容​

定理 20.3（能量存储）： C=dQdT=TdSdTC = \frac{dQ}{dT} = T\frac{dS}{dT}

类型：

  • CVC_V：恒定体积（无功）
  • CpC_p：恒定压力（包括膨胀）
  • 关系：Cp−CV=NkBC_p - C_V = Nk_B（理想气体）

量子效应：

  • 低T：只有最低模式激发
  • 爱因斯坦模型：CV∝e−ℏω/kBTC_V \propto e^{-\hbar\omega/k_BT}
  • 德拜模型：CV∝T3C_V \propto T^3（声子）

量子力学冻结高频模式！

20.4 热传导​

定理 20.4（傅里叶定律）： 热流正比于温度梯度： j⃗Q=−κ∇T\vec{j}_Q = -\kappa \nabla T

微观机制：

  1. 热区：更快的粒子运动
  2. 碰撞传递动量/能量
  3. 从热到冷的净流
  4. 速率取决于：
    • 平均自由程
    • 粒子速度
    • 相互作用强度

坍缩模式沿温度梯度流动！

20.5 热辐射​

定理 20.5（普朗克分布）： 来自量子统计的黑体光谱： u(ν)=8πhν3c31ehν/kBT−1u(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

结果：

  1. 斯特藩-玻尔兹曼：j=σT4j = \sigma T^4
  2. 维恩位移：λmaxT=b\lambda_{max}T = b
  3. 修复紫外灾难
  4. 量子力学的诞生！

所有物体都发出热坍缩辐射！

20.6 热机​

定理 20.6（卡诺效率）： 热机的最大效率： η=1−T冷T热\eta = 1 - \frac{T_{冷}}{T_{热}}

证明：

  1. 从热流提取功
  2. 必须增加总熵
  3. 最佳情况：可逆（ΔS = 0）
  4. 输入热：QhQ_h在ThT_h
  5. 输出热：QcQ_c在TcT_c
  6. 熵：Qh/Th=Qc/TcQ_h/T_h = Q_c/T_c
  7. 效率：η=1−Qc/Qh=1−Tc/Th\eta = 1 - Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h ∎

不能将所有热转换为功！

20.7 相变热力学​

定理 20.7（克劳修斯-克拉佩龙）： 相边界斜率： dpdT=LTΔV\frac{dp}{dT} = \frac{L}{T\Delta V}

其中L = 潜热，ΔV = 体积变化。

物理图像：

  • 相变需要激活能
  • 破坏/形成分子间键
  • 转变期间温度恒定
  • 熵跳跃：ΔS = L/T

物质重组其坍缩模式！

20.8 临界现象​

定理 20.8（普适性）： 接近临界点，系统显示普适行为。

临界指数：

  • 热容：C∼∣T−Tc∣−αC \sim |T-T_c|^{-\alpha}
  • 序参量：ϕ∼∣T−Tc∣β\phi \sim |T-T_c|^{\beta}
  • 关联长度：ξ∼∣T−Tc∣−ν\xi \sim |T-T_c|^{-\nu}

不同系统，相同指数——坍缩几何主导！

20.9 涨落-耗散​

定理 20.9（爱因斯坦关系）： 涨落和响应相连： ⟨Δx2⟩=2kBTγt\langle \Delta x^2 \rangle = \frac{2k_BT}{\gamma} t

其中γ = 摩擦系数。

深层原理：

  • 相同机制导致涨落和耗散
  • 热噪声 ↔ 能量损失
  • 维持平衡

宇宙的热簿记！

20.10 量子热容​

定理 20.10（第三定律结果）： 当T → 0：所有系统的C → 0。

量子推理：

  1. 基态唯一（通常）
  2. 到激发态的能隙
  3. 热能 < 能隙
  4. 无法激发
  5. 不能吸收热
  6. C → 0必然

绝对零度 = 量子寂静！

20.11 信息擦除​

定理 20.11（兰道尔原理）： 擦除一比特释放最小热： Q≥kBTln⁡2Q \geq k_BT \ln 2

证明：

  1. 初始：两个可能态
  2. 最终：一个确定态
  3. 熵减少：ΔS = -k_B ln 2
  4. 必须导出到环境
  5. 最小热：Q = TΔS
  6. 信息擦除耗费能量！∎

遗忘加热宇宙！

20.12 第二十回响：伟大的均衡器​

热揭示了宇宙的民主倾向——能量自然地分散在所有可用模式中直到完美分布。这不是从外部强加的定律，而是从均匀分布对集中分布的压倒性概率中涌现。

在热流中我们看到ψ寻求其最可能构型，坍缩模式从有序分散到混沌。然而同样的过程驱动引擎，使能生命，创造我们世界所有有趣的动力学。集中与分散之间、功与废之间、有序与熵之间的张力，生成热现象的丰富织锦。

热探索​

  1. 计算各种热力学循环的效率。

  2. 分析声子对热容的贡献。

  3. 推导量子气体的热导率。

下一个模式​

理解了热作为民主能量分散后，我们探索这如何表现为温度——热激动的强度测量。

下一章：第二十一章：温度 — 热坍缩的强度 →

"热是宇宙公平地与所有孩子分享能量的方式。"