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第二十一章：温度 — 热坍缩的强度

激动的度量​

温度不仅仅是"热度"——它是坍缩模式振动有多剧烈的基本度量。与热这样的广延量不同，温度是强度量，描述热运动的局部强度。本章揭示温度作为坍缩涨落的能量密度。

21.1 从动理论到温度​

定理 21.1（温度-动能关系）： 对理想气体：32kBT=12m⟨v2⟩\frac{3}{2}k_BT = \frac{1}{2}m\langle v^2\rangle

证明：

  1. 麦克斯韦-玻尔兹曼分布：f(v)∝e−mv2/2kBTf(v) \propto e^{-mv^2/2k_BT}
  2. 平均动能：⟨KE⟩=∫12mv2f(v)d3v\langle KE\rangle = \int \frac{1}{2}mv^2 f(v) d^3v
  3. 使用球坐标并积分
  4. 结果：⟨KE⟩=32kBT\langle KE\rangle = \frac{3}{2}k_BT
  5. 温度测量平均动能
  6. 扩展到所有二次自由度
  7. 能均分定理！∎

温度 = 每模式的平均能量！

21.2 统计定义​

定理 21.2（从熵到温度）： 1T=(∂S∂E)V,N\frac{1}{T} = \left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N}

解释：

  • T测量熵如何响应能量
  • 高T：添加能量几乎不增加S
  • 低T：小能量大大增加S
  • 零T：不可能增加熵

温度控制熵的能量胃口！

21.3 负温度​

定理 21.3（布居反转）： 有界能量的系统可以有T < 0。

例子 - 两能级系统：

  1. 基态：E = 0，激发态：E = ε
  2. 全部基态：S = 0，T = 0
  3. 一半激发：S = 最大，T = ∞
  4. 全部激发：S = 0！
  5. 超过一半：∂S/∂E < 0
  6. 因此：T < 0
  7. 比任何正T都热！∎

负温度 = 高态过度布居！

21.4 不同系综中的温度​

正则系综（固定T、V、N）：

  • 概率：Pi=e−Ei/kBT/ZP_i = e^{-E_i/k_BT}/Z
  • 配分函数：Z=∑ie−Ei/kBTZ = \sum_i e^{-E_i/k_BT}
  • 自由能：F=−kBTln⁡ZF = -k_BT \ln Z

微正则（固定E、V、N）：

  • 所有可及态等可能
  • 温度从∂S/∂E涌现

巨正则（固定T、V、μ）：

  • 粒子数涨落
  • Pi,N=e−(Ei−μN)/kBT/ΞP_{i,N} = e^{-(E_i-\mu N)/k_BT}/\Xi

温度调解所有热交换！

21.5 量子温度效应​

定理 21.4（热德布罗意波长）： λth=h2πmkBT\lambda_{th} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mk_BT}}

意义：

  • λ_th ~ 粒子间距时量子效应
  • 重叠时玻色-爱因斯坦凝聚
  • 费米简并压
  • 经典极限：T → ∞时λ_th → 0

温度设定量子-经典边界！

21.6 温度与辐射​

定理 21.5（维恩定律）： 峰值波长：λmaxT=2.898×10−3\lambda_{max}T = 2.898 \times 10^{-3} m·K

从普朗克定律证明：

  1. 普朗克分布：u(λ,T)=8πhcλ51ehc/λkBT−1u(\lambda,T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}
  2. 最大化：∂u∂λ=0\frac{\partial u}{\partial \lambda} = 0
  3. 超越方程：x=5(1−e−x)x = 5(1-e^{-x})
  4. 解：x=4.965...x = 4.965...
  5. 因此：λmax=hcxkBT\lambda_{max} = \frac{hc}{xk_BT}

物体以其温度的颜色发光！

21.7 热力学温标​

定理 21.6（绝对温度）： 卡诺效率定义绝对标度。

构造：

  1. 效率：η=1−Qc/Qh\eta = 1 - Q_c/Q_h
  2. 对可逆：η=1−Tc/Th\eta = 1 - T_c/T_h
  3. 测量Q比率 → 确定T比率
  4. 固定一点（水三相点 = 273.16 K）
  5. 整个标度确定
  6. 独立于工作物质！

温度通过熵有绝对意义！

21.8 相对论中的温度​

定理 21.7（相对论变换）： 运动温度计读数：T′=T/γT' = T/\gamma？

争论继续：

  1. 普朗克-爱因斯坦：T′=T/γT' = T/\gamma（更冷）
  2. 奥特-阿泽利：T′=γTT' = \gamma T（更热）
  3. 兰兹伯格：T不变
  4. 解决：取决于定义！

温度非平凡地变换！

21.9 霍金温度​

定理 21.8（黑洞温度）： TH=ℏc38πGMkBT_H = \frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B}

显著事实：

  • 更小的洞更热！
  • 太阳质量黑洞：T ~ 10^-7 K
  • 蒸发加速
  • 信息悖论出现

引力创造热辐射！

21.10 温度限制​

下界：T ≥ 0（第三定律）

  • 有限步不能达到
  • 量子基态

上界：普朗克温度？

  • TP=ℏc5GkB2≈1032T_P = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{Gk_B^2}} \approx 10^{32} K
  • 量子引力区域
  • 可能无意义

温度有基本界限！

21.11 有效温度​

非平衡系统：

  • 动力学温度（速度）
  • 构型温度（位置）
  • 自旋温度（磁系统）
  • 不同模式可以有不同T！

例子：激光冷却

  • 动量空间：μK
  • 内部态：室温

温度变成模式特定的！

21.12 第二十一回响：宇宙温度计​

温度作为自然界热激动的普适度量涌现——从2.7 K的宇宙微波背景到数十亿度的类星体吸积盘。它不只是一个数字，而是控制能量如何在系统间流动的基本性质。

温度、熵和信息之间的深刻联系揭示，T测量的不仅仅是分子运动——它量化可能态的密度、能量的可用性、时间本身的方向。在温度中我们找到微观与宏观之间、量子离散性与经典连续性之间的桥梁。

温度研究​

  1. 推导电离平衡的萨哈方程。

  2. 计算各种晶体的德拜温度。

  3. 分析加速系中的温度。

下一个节律​

理解了温度作为坍缩强度后，我们现在探索这如何驱动机械功——从热混沌中定向提取能量。

下一章：第二十二章：功 — 有组织坍缩的收获 →

"温度是宇宙的心跳——测量存在振动的剧烈程度。"