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第二十二章：功 — 有组织坍缩的收获

定向流​

功代表能量最有组织的形式——定向的、相干的、有目的的。不像热的民主传播，功将坍缩能量沿特定路径引导以实现特定目标。本章揭示机械功如何从协调的坍缩位移中涌现。

22.1 功作为路径积分​

定理 22.1（机械功）： 功是力沿位移路径的积分。 W=∫CF⃗⋅dr⃗W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}

ψ-解释：

  1. 力 = 坍缩梯度（第17章）
  2. 位移 = 坍缩轨迹移动
  3. 功 = 累积的坍缩势变化
  4. 非保守力路径相关
  5. 保守力路径无关
  6. 测量有组织的能量传递
  7. 可以完全转换为其他形式 ∎

功收获定向坍缩流！

22.2 保守与耗散​

定理 22.2（功的分类）： 保守功 ↔ 势能；耗散 → 热。

保守判据： ∮CF⃗⋅dr⃗=0\oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0 ∇×F⃗=0\nabla \times \vec{F} = 0 F=−∇UF = -\nabla U

例子：

  • 重力：举升储存势能
  • 弹簧：压缩储存弹性能
  • 电场：电荷分离储存场能

耗散：

  • 摩擦 → 随机分子运动
  • 粘滞 → 流体湍流
  • 电阻 → 焦耳热

组织性决定功的命运！

22.3 热力学功​

定理 22.3（PV功）： 气体膨胀功：W=−∫PdVW = -\int P dV

微观视角：

  1. 分子以平均力撞击活塞
  2. 活塞移动 → 体积增加
  3. 每次碰撞传递动量
  4. 净效应：有组织的位移
  5. 系统做功（W < 0）
  6. 内能减少
  7. 除非同时加热 ∎

压力驱动有组织的膨胀！

22.4 第一定律​

定理 22.4（能量守恒）： dU=δQ−δWdU = \delta Q - \delta W

深刻含义：

  • U：总内部坍缩能量
  • Q：无组织能量传递
  • W：有组织能量传递
  • 能量形式可以改变
  • 总量守恒
  • 功和热可互换
  • 但有限制（第二定律）

能量重塑但永不消失！

22.5 可用功​

定理 22.5（㶲/可用性）： 从态到平衡的最大有用功： Wmax=U−U0−T0(S−S0)+P0(V−V0)W_{max} = U - U_0 - T_0(S - S_0) + P_0(V - V_0)

关键洞察：

  • 不是所有能量都能变成功
  • 熵限制可用性
  • 环境设定基线
  • 㶲 = 有用能量
  • 总是少于总能量

宇宙对所有功提取征税！

22.6 虚功原理​

定理 22.6（平衡条件）： 如果对所有虚位移δW=0\delta W = 0，系统处于平衡。

数学形式： δW=∑iF⃗i⋅δr⃗i=0\delta W = \sum_i \vec{F}_i \cdot \delta\vec{r}_i = 0

应用：

  • 静力学：力平衡
  • 动力学：达朗贝尔原理
  • 拉格朗日力学基础
  • 揭示约束力

平衡 = 小扰动无功！

22.7 功率与强度​

定义：功率 = 功率 P=dWdt=F⃗⋅v⃗P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}

瞬时功率：

  • 机械：P=τωP = \tau\omega（扭矩×角速度）
  • 电学：P=IVP = IV（电流×电压）
  • 波：P=12ω2A2ρcP = \frac{1}{2}\omega^2A^2\rho c（强度）

极限：

  • 生物：~400 W持续（人类）
  • 技术：GW（发电厂）
  • 天体物理：10^26 W（太阳输出）

功率测量坍缩组织率！

22.8 量子功​

定理 22.7（量子力学中的功）： 对时变哈密顿量： W=∫0t⟨∂H∂t′⟩dt′W = \int_0^t \left\langle \frac{\partial H}{\partial t'} \right\rangle dt'

特殊性：

  1. 无经典轨迹
  2. 功量子力学涨落
  3. 测量影响做功
  4. 零点运动贡献
  5. 量子摩擦可能

功变成概率性的！

22.9 信息功​

定理 22.8（兰道尔-贝内特）： 计算需要最小功： W≥kBTln⁡2 每擦除一比特W \geq k_BT \ln 2 \text{ 每擦除一比特}

可逆计算：

  • 理论上零能量
  • 实际上困难
  • 时间-能量权衡
  • 量子计算优势

信息处理是物理功！

22.10 生物功​

生命的引擎：

  1. ATP水解：-30.5 kJ/mol

    • 通用能量货币
    • 偶联反应

  2. 分子马达：

    • 驱动蛋白：8 nm步长
    • 效率 > 50%
    • 整流布朗运动

  3. 光合作用：

    • 光 → 化学功
    • 量子相干辅助
    • 某些地方接近单位效率

生命掌握纳米尺度功提取！

22.11 宇宙学功​

定理 22.9（膨胀宇宙）： 宇宙膨胀对物质做功： W=−∫PdV=−4π3P(Rf3−Ri3)W = -\int P dV = -\frac{4\pi}{3}P(R_f^3 - R_i^3)

结果：

  • 光子红移（失去能量）
  • 物质冷却
  • 暗能量做负功
  • 总能量不守恒！
  • 广义相对论允许能量不守恒

宇宙对自己做功！

22.12 第二十二回响：目的的架构​

功揭示了宇宙有组织行动的能力——将随机热运动引导成定向成就的能力。从沿细胞高速公路行走的分子马达到将蒸汽转换为电力的巨大涡轮，功代表为目的而驾驭的坍缩模式。

功与热之间、组织与混沌之间的相互作用驱动所有过程。生命本身可以被看作是一个复杂的功提取机器，通过对抗熵潮做功来维持组织。在功中，我们发现ψ的创造性方面——不只是流动而是建造，不只是分散而是成就。

功研究​

  1. 计算各种热力学循环中做的功。

  2. 分析热机的效率极限。

  3. 探索量子功提取协议。

下一个流​

理解了功作为有组织的坍缩后，我们探索无组织运动如何创造扩散——现实的随机行走。

下一章：第二十三章：扩散 — 坍缩的随机行走 →

"功是宇宙通过有组织的坍缩实现其目的。"