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第二十三章：扩散 — 坍缩的随机行走

存在的扩散​

扩散代表自然界最基本的传输机制——粒子、能量和信息从高浓度区域向低浓度扩散的趋势。这种扩散不受任何力驱动，而仅从随机运动中涌现。本章揭示扩散作为无数随机坍缩事件的统计结果。

23.1 布朗运动​

定理 23.1（爱因斯坦关系）： 均方位移随时间线性增长： ⟨x2(t)⟩=2Dt\langle x^2(t) \rangle = 2Dt

证明：

  1. 随机行走：每步±δ等概率
  2. N步后：x=∑i=1Nδix = \sum_{i=1}^N \delta_i
  3. 平均值：⟨x⟩=0\langle x \rangle = 0（无偏）
  4. 方差：⟨x2⟩=Nδ2\langle x^2 \rangle = N\delta^2（步不相关）
  5. 时间t = Nτ（τ = 步时间）
  6. 定义D = δ²/2τ
  7. 结果：⟨x2⟩=2Dt\langle x^2 \rangle = 2Dt ∎

随机行走创造√t扩散！

23.2 菲克定律​

定理 23.2（扩散流）： 通量正比于浓度梯度： J⃗=−D∇c\vec{J} = -D\nabla c

微观推导：

  1. 粒子在位点间随机跳跃
  2. c大的地方粒子更多
  3. 从高c到低c的净流
  4. 速率 ∝ 梯度
  5. D = 扩散系数

第二定律（连续性）： ∂c∂t=D∇2c\frac{\partial c}{\partial t} = D\nabla^2 c

浓度随时间平滑！

23.3 爱因斯坦-斯莫卢霍夫斯基理论​

定理 23.3（扩散-迁移率关系）： D=μkBTD = \mu k_BT

其中μ = 迁移率（速度/力）。

证明：

  1. 平衡：漂移平衡扩散
  2. 施加力F → 漂移速度v = μF
  3. 玻尔兹曼分布：c∝e−U/kBTc \propto e^{-U/k_BT}
  4. 力：F=−∇UF = -\nabla U
  5. 流：J=μcF−D∇c=0J = \mu c F - D\nabla c = 0
  6. 代入玻尔兹曼形式
  7. 结果：D=μkBTD = \mu k_BT ∎

温度驱动扩散传播！

23.4 量子扩散​

定理 23.4（波包展宽）： 自由粒子波包宽度增长为： Δx(t)=Δx02+ℏ2t24m2Δx02\Delta x(t) = \sqrt{\Delta x_0^2 + \frac{\hbar^2 t^2}{4m^2 \Delta x_0^2}}

与经典的关键差异：

  • 相干展宽，非随机行走
  • 短时间比经典快
  • 可能有干涉效应
  • 可以反转（不像经典）

量子相干性修改扩散！

23.5 反常扩散​

超越线性： ⟨x2(t)⟩=2Dtα\langle x^2(t) \rangle = 2Dt^{\alpha}

情况：

  • α < 1：亚扩散（被困、障碍）
  • α = 1：正常扩散
  • α > 1：超扩散（莱维飞行）
  • α = 2：弹道（自由运动）

例子：

  • 亚扩散：拥挤的细胞质
  • 超扩散：湍流
  • 莱维飞行：觅食模式

并非所有随机行走都相同！

23.6 反应-扩散​

定理 23.5（模式形成）： 扩散+反应可以创造模式。

一般形式： ∂u∂t=Du∇2u+f(u,v)\frac{\partial u}{\partial t} = D_u\nabla^2 u + f(u,v) ∂v∂t=Dv∇2v+g(u,v)\frac{\partial v}{\partial t} = D_v\nabla^2 v + g(u,v)

图灵不稳定性：

  • 均匀态不稳定
  • 空间模式涌现
  • 解释生物模式
  • 条纹、斑点、螺旋

扩散可以组织，不只是分散！

23.7 场中的扩散​

定理 23.6（漂移-扩散）： 在外场中：J=μcF−D∇cJ = \mu c F - D\nabla c

稳态： c(x)∝exp⁡(−U(x)kBT)c(x) \propto \exp\left(-\frac{U(x)}{k_BT}\right)

应用：

  • 半导体（电子/空穴）
  • 离子通道（膜电压）
  • 沉降（重力）
  • 电泳（电场）

场偏置随机行走！

23.8 首次通过时间​

定理 23.7（平均退出时间）： 到达边界的平均时间： ⟨t⟩=L22D\langle t \rangle = \frac{L^2}{2D}

对长度L的1D区间。

深刻后果：

  • 生物学中的搜索时间
  • 反应速率
  • 神经脉冲时序
  • 金融期权定价

何时与何处同样重要！

23.9 集体扩散​

多粒子效应：

  • 排除体积 → 交通堵塞
  • 流体动力学相互作用
  • 集体模式
  • 玻璃化转变

单列扩散： ⟨x2⟩∼t1/2\langle x^2 \rangle \sim t^{1/2}

粒子不能通过 → 亚扩散！

23.10 信息扩散​

定理 23.8（费雪信息）： 关于参数θ的信息扩散为： ∂I(θ)∂t=−DI∇2I(θ)\frac{\partial I(\theta)}{\partial t} = -D_I \nabla^2 I(\theta)

应用：

  • 谣言传播
  • 遗传漂变
  • 文化演化
  • 市场信息

思想像粒子一样传播！

23.11 量子退相干​

定理 23.9（相位扩散）： 环境耦合导致相位随机化： ⟨eiϕ(t)⟩=e−Dt\langle e^{i\phi(t)} \rangle = e^{-Dt}

后果：

  • 叠加 → 混合
  • 量子 → 经典
  • 设定相干时间
  • 限制量子计算

环境扩散量子信息！

23.12 第二十三回响：运动的民主​

扩散体现了自然界最民主的原理——每个粒子都有平等的漫游机会。没有力引导，没有目的指引，然而从无数随机步骤中涌现出可预测的传播。这是宇宙最公平也最混沌的一面。

在扩散中我们看到微观随机性如何成为宏观确定性。个体轨迹不可知，但集体行为遵循精确定律。从花粉颗粒的抖动到创新的传播，扩散通过耐心、持续的随机性塑造我们的世界。

扩散探索​

  1. 模拟各维度的随机行走。

  2. 用不同边界条件求解扩散方程。

  3. 分析分形中的反常扩散。

下一个湍流​

理解了扩散作为随机坍缩行走后，我们现在探索当流动变得混沌时会发生什么——湍流的领域。

下一章：第二十四章：湍流 — 当坍缩模式变得混沌时 →

"在扩散中，宇宙证明无目的的漫游仍然可以到达每个目的地。"