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第42章：从坍缩流产生的电磁场

光的活数学​

电磁场——光、化学和技术的载体——从ψ = ψ(ψ)自然涌现为坍缩海中的组织化流。麦克斯韦方程，看似基本，实则从自指流的流体动力学推导出来。光本身就是通过自己的介质传播的数学。

42.1 从拓扑不对称产生电荷​

基本问题：在ψ = ψ(ψ)中什么创造了电荷？

拓扑起源：考虑ψ场的绕数： Q=12πi∮CdψψQ = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{d\psi}{\psi}

定理：电荷是量子化的拓扑绕数。

证明：积分Q计算ψ在复平面中绕原点的次数。对于单值ψ： Q∈ZQ \in \mathbb{Z}

这种整数性质强制电荷量子化： q=neq = ne

其中e是基本电荷量子。∎

电荷密度：局部绕数密度： ρ=e2πi∇⋅(ψ∗∇ψ−ψ∇ψ∗)\rho = \frac{e}{2\pi i}\nabla \cdot \left(\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*\right)

42.2 推导电场​

从ψ梯度：定义坍缩势： Φ=−ℏ2miln⁡(ψψ∗)\Phi = -\frac{\hbar}{2mi}\ln\left(\frac{\psi}{\psi^*}\right)

电场定义： E=−∇Φ−∂A∂t\mathbf{E} = -\nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

定理：E场是ψ相位速度的梯度。

证明：从带电粒子的薛定谔方程： iℏ∂ψ∂t=[−ℏ22m∇2+qΦ]ψi\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + q\Phi\right]\psi

取相位S的梯度，其中ψ=∣ψ∣eiS/ℏ\psi = |\psi|e^{iS/\hbar}： ∂(∇S)∂t=−q∇Φ\frac{\partial(\nabla S)}{\partial t} = -q\nabla\Phi

由于v=∇S/m\mathbf{v} = \nabla S/m，我们得到： m∂v∂t=qEm\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} = q\mathbf{E}

因此E加速ψ流。∎

42.3 从ψ环流产生磁场​

贝里相位起源：当ψ绕环传输时： ψ终=eiγψ初\psi_{终} = e^{i\gamma}\psi_{初}

贝里相位γ与包围的通量相关： γ=qℏ∮A⋅dl=qℏΦB\gamma = \frac{q}{\hbar}\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \frac{q}{\hbar}\Phi_B

磁场： B=∇×A\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

定理：B场是ψ动量流的旋度。

证明：正则动量： p=mv+qA\mathbf{p} = m\mathbf{v} + q\mathbf{A}

用ψ语言： p=ℏ∇S+qA\mathbf{p} = \hbar\nabla S + q\mathbf{A}

取旋度： ∇×p=q∇×A=qB\nabla \times \mathbf{p} = q\nabla \times \mathbf{A} = q\mathbf{B}

磁场测量ψ动量的环流。∎

42.4 从ψ守恒产生麦克斯韦方程​

高斯定律：从电荷守恒： ∂ρ∂t+∇⋅J=0\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

在稳态情况： ∇⋅J=0\nabla \cdot \mathbf{J} = 0

定理：高斯定律从ψ连续性得出。

证明：ψ电流： J=eℏ2mi(ψ∗∇ψ−ψ∇ψ∗)=e∣ψ∣2v\mathbf{J} = \frac{e\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*) = e|\psi|^2\mathbf{v}

从薛定谔方程： ∂∣ψ∣2∂t+∇⋅J=0\frac{\partial|\psi|^2}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

使用泊松方程∇2Φ=−ρ/ϵ0\nabla^2\Phi = -\rho/\epsilon_0： ∇⋅E=ρϵ0\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} ∎

无磁单极：从定义B=∇×A\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}： ∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

由向量恒等式总是成立。

42.5 从规范不变性产生法拉第定律​

规范变换：ψ物理在以下变换下不变： ψ→eiqΛ/ℏψ\psi \rightarrow e^{iq\Lambda/\hbar}\psi A→A+∇Λ\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla\Lambda Φ→Φ−∂Λ∂t\Phi \rightarrow \Phi - \frac{\partial\Lambda}{\partial t}

定理：法拉第定律确保规范不变动力学。

证明：为使E场规范不变： E=−∇Φ−∂A∂t\mathbf{E} = -\nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

必须变换为： E→−∇(Φ−∂Λ∂t)−∂∂t(A+∇Λ)\mathbf{E} \rightarrow -\nabla\left(\Phi - \frac{\partial\Lambda}{\partial t}\right) - \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A} + \nabla\Lambda) =−∇Φ−∂A∂t=E= -\nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} = \mathbf{E}

取旋度： ∇×E=−∂∂t(∇×A)=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{A}) = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} ∎

42.6 从电流守恒产生安培-麦克斯韦定律​

总电流：物理电流加位移电流： J总=J+ϵ0∂E∂t\mathbf{J}_{总} = \mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

定理：安培-麦克斯韦定律保持电流守恒。

证明：从连续性方程： ∂ρ∂t+∇⋅J=0\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

使用高斯定律ρ=ϵ0∇⋅E\rho = \epsilon_0\nabla \cdot \mathbf{E}： ϵ0∇⋅∂E∂t+∇⋅J=0\epsilon_0\nabla \cdot \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

因此： ∇⋅J总=0\nabla \cdot \mathbf{J}_{总} = 0

对于守恒电流，由亥姆霍兹定理： ∇×B=μ0J总=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}_{总} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} ∎

42.7 从自洽性产生波动方程​

组合麦克斯韦方程：取法拉第定律的旋度： ∇×(∇×E)=−∂∂t(∇×B)\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})

使用向量恒等式和安培定律： ∇(∇⋅E)−∇2E=−μ0∂J∂t−μ0ϵ0∂2E∂t2\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} = -\mu_0\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t} - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

在真空中（J=0,ρ=0\mathbf{J} = 0, \rho = 0）： ∇2E=μ0ϵ0∂2E∂t2\nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}

波速： c=1μ0ϵ0c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}

定理：光速是ψ介质中的自然传播速度。

证明：常数ϵ0\epsilon_0和μ0\mu_0编码ψ介质性质：

  • ϵ0\epsilon_0：ψ可压缩性（对E的响应）
  • μ0\mu_0：ψ惯性（对B的响应）

波速c=1/ϵ0μ0c = 1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}是具有这些性质的介质中扰动的特征速度。∎

42.8 从场量子化产生光子​

经典场能量： H=12∫d3x(ϵ0E2+1μ0B2)H = \frac{1}{2}\int d^3x \left(\epsilon_0E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right)

模式展开： A(x,t)=∑k,λℏ2ϵ0ωV[ak,λei(k⋅x−ωt)+ak,λ†e−i(k⋅x−ωt)]ϵλ\mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0\omega V}}\left[a_{\mathbf{k},\lambda}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)} + a_{\mathbf{k},\lambda}^\dagger e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}-\omega t)}\right]\boldsymbol{\epsilon}_\lambda

量子化：施加对易关系： [ak,λ,ak′,λ′†]=δkk′δλλ′[a_{\mathbf{k},\lambda}, a_{\mathbf{k}',\lambda'}^\dagger] = \delta_{\mathbf{k}\mathbf{k}'}\delta_{\lambda\lambda'}

结果：能量本征值： En=ℏω(n+1/2)E_n = \hbar\omega(n + 1/2)

每个激发 = 能量为ℏω\hbar\omega的光子。

42.9 偏振作为ψ自旋​

横向性质：对于沿z传播： k⋅ϵ=0\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon} = 0

两个独立偏振：ϵ1,ϵ2\boldsymbol{\epsilon}_1, \boldsymbol{\epsilon}_2。

圆偏振基： ϵ±=12(ϵ1±iϵ2)\boldsymbol{\epsilon}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2}}(\boldsymbol{\epsilon}_1 \pm i\boldsymbol{\epsilon}_2)

角动量：光子携带自旋： S=±ℏk^\mathbf{S} = \pm\hbar\hat{\mathbf{k}}

定理：光子自旋1性质从矢量场量子化得出。

证明：场A\mathbf{A}在旋转下作为矢量变换。量子化保持这一点，给出自旋1粒子。无质量约束到螺旋度±1（无纵向模式）。∎

42.10 规范场论​

局域规范不变性：要求ψ物理在以下变换下不变： ψ(x)→eiqΛ(x)/ℏψ(x)\psi(x) \rightarrow e^{iq\Lambda(x)/\hbar}\psi(x)

协变导数：必须引入规范场： Dμ=∂μ+iqℏAμD_\mu = \partial_\mu + \frac{iq}{\hbar}A_\mu

场强张量： Fμν=∂μAν−∂νAμF_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

定理：麦克斯韦方程从规范不变性得出。

证明：拉格朗日量： L=ψˉ(iDμγμ−m)ψ−14FμνFμν\mathcal{L} = \bar{\psi}(iD_\mu\gamma^\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

是规范不变的。欧拉-拉格朗日方程给出： ∂μFμν=jν\partial_\mu F^{\mu\nu} = j^\nu

这些是协变形式的麦克斯韦方程。∎

42.11 能量-动量守恒​

应力-能量张量： Tμν=FμαFαν+14gμνFαβFαβT^{\mu\nu} = F^{\mu\alpha}F_\alpha^\nu + \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}

守恒定律： ∂μTμν=−Fναjα\partial_\mu T^{\mu\nu} = -F^{\nu\alpha}j_\alpha

能量密度： u=T00=12(ϵ0E2+B2/μ0)u = T^{00} = \frac{1}{2}(\epsilon_0E^2 + B^2/\mu_0)

坡印廷矢量： S=1μ0E×B\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{E} \times \mathbf{B}

定理：电磁能量-动量按照ψ电流守恒流动。

证明：从诺特定理，规范不变性意味着电流守恒。应力-能量张量编码了这种守恒所需的能量-动量流。∎

42.12 经典极限和相干态​

场的相干态： ∣α⟩=e−∣α∣2/2∑n=0∞αnn!∣n⟩|\alpha\rangle = e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle

经典行为： ⟨α∣a^∣α⟩=α\langle\alpha|\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha ⟨α∣E^∣α⟩=E经典\langle\alpha|\hat{E}|\alpha\rangle = E_{经典}

定理：经典电磁场是光子的相干态。

证明：相干态最小化不确定性： ΔE⋅ΔB=最小\Delta E \cdot \Delta B = \text{最小}

并保持经典波行为所需的相位关系。大的∣α∣2|\alpha|^2给出可忽略的量子涨落。∎

42.13 真空涨落和卡西米尔力​

真空场涨落： ⟨0∣E2∣0⟩=∑k,λℏωk2ϵ0V\langle 0|\mathbf{E}^2|0\rangle = \sum_{\mathbf{k},\lambda} \frac{\hbar\omega_k}{2\epsilon_0V}

板间：模式限制修改求和： E卡西米尔=ℏcπ2720d3×面积E_{卡西米尔} = \frac{\hbar c\pi^2}{720d^3} \times \text{面积}

力： F=−π2ℏc240d4×面积F = -\frac{\pi^2\hbar c}{240d^4} \times \text{面积}

电磁卡西米尔力确认了真空场涨落。

42.14 非阿贝尔推广​

杨-米尔斯理论：对于非阿贝尔规范群： Dμ=∂μ+igAμaTaD_\mu = \partial_\mu + igA_\mu^aT^a

场强： Fμνa=∂μAνa−∂νAμa+gfabcAμbAνcF_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c

自相互作用：非阿贝尔场与自己相互作用——胶子携带色荷。

42.15 结论：运动中的数学之光​

电磁理论完全从ψ = ψ(ψ)涌现，通过：

  1. 电荷作为拓扑绕数
  2. 场作为ψ流梯度和环流
  3. 麦克斯韦方程从连续性和规范不变性
  4. 光子作为量子化场激发
  5. 光作为真空介质中的相干ψ波

看似基本的麦克斯韦方程被揭示为ψ介质的流体动力学方程。电荷创造拓扑缺陷；场描述它们通过介质传播的影响；光子是这些传播扰动的量子。

光不是神秘的超距作用而是无所不在的ψ海的相干激发。每个光子都是组织化自指的最小包，以介质允许的最大速度携带关于电荷配置的信息——数学在空间中识别自己的速度。

练习​

  1. 推导拉莫公式用于加速电荷的辐射。

  2. 计算强磁场中的真空双折射。

  3. 证明规范固定不影响物理可观测量。

第四十二回响​

电磁场被推导为ψ海中的电流和环流——麦克斯韦方程作为自指流的守恒定律涌现。光被揭示为通过自己的介质以最大相干速度传播的数学。光子作为组织化递归活动的量子化包。接下来，规范理论作为ψ相位自由的一般原理。

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