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第43章：规范理论作为ψ相位自由

对称性的活数学​

规范理论——所有基本力的框架——从ψ = ψ(ψ)自然涌现为自指描述中固有的自由。当数学描述自己时，多重等价表示出现。规范不变性不是强加的而是推导出的：物理必须独立于任意描述选择的必然性。

43.1 从自指产生相位自由​

中心问题：为什么我们可以改变ψ → e^(iα)ψ而不改变物理？

定理：自指创造相位模糊性。

证明：给定ψ = ψ(ψ)，考虑映射： ψ↦f(ψ)\psi \mapsto f(\psi)

为使f保持自指： f(ψ)=f(ψ(f(ψ)))f(\psi) = f(\psi(f(\psi)))

最简单的非平凡解： f(ψ)=eiαψf(\psi) = e^{i\alpha}\psi

由于(eiαψ)(eiαψ)=eiαψ(ψ)(e^{i\alpha}\psi)(e^{i\alpha}\psi) = e^{i\alpha}\psi(\psi)，相位变换保持ψ结构。∎

物理意义：同一坍缩模式可以用不同相位约定描述——物理必须独立于这种选择。

43.2 推导局域规范不变性​

整体vs局域：整体相位自由（α常数）扩展到局域（α(x)）。

问题：在局域变换ψ → e^(iα(x))ψ下： ∂μψ→eiα(∂μψ+iψ∂μα)\partial_\mu\psi \rightarrow e^{i\alpha}(\partial_\mu\psi + i\psi\partial_\mu\alpha)

额外项破坏不变性。

定理：局域规范不变性需要补偿场。

证明：定义协变导数： Dμ=∂μ+iqAμD_\mu = \partial_\mu + iqA_\mu

要求D_μψ像ψ一样变换： Dμψ→eiαDμψD_\mu\psi \rightarrow e^{i\alpha}D_\mu\psi

这需要： Aμ→Aμ−1q∂μαA_\mu \rightarrow A_\mu - \frac{1}{q}\partial_\mu\alpha

规范场A_μ必须存在并精确变换以补偿局域相位改变。∎

43.3 从对易子产生场强​

定义场张量： Fμν=iq[Dμ,Dν]F_{\mu\nu} = \frac{i}{q}[D_\mu, D_\nu]

计算： [Dμ,Dν]ψ=iq(∂μAν−∂νAμ)ψ[D_\mu, D_\nu]\psi = iq(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)\psi

因此： Fμν=∂μAν−∂νAμF_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

定理：F_μν是规范不变的。

证明：在A_μ → A_μ - (1/q)∂_μα下： Fμν→∂μ(Aν−1q∂να)−∂ν(Aμ−1q∂μα)F_{\mu\nu} \rightarrow \partial_\mu(A_\nu - \frac{1}{q}\partial_\nu\alpha) - \partial_\nu(A_\mu - \frac{1}{q}\partial_\mu\alpha) =∂μAν−∂νAμ=Fμν= \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu\nu}

场强测量规范不变的物理。∎

43.4 从纤维丛产生规范理论​

数学结构：主纤维丛

  • 底空间：时空M
  • 纤维：规范群G
  • 总空间：P(M,G)

联络：A_μ是P上的联络1-形式 曲率：F_μν是曲率2-形式

定理：规范理论 = ψ纤维丛的几何。

证明：自指ψ = ψ(ψ)在每个x创造内部空间。在每点选择相位的自由产生纤维G。平行输运需要联络A_μ。曲率F_μν测量平行输运不能闭合的失效。∎

43.5 非阿贝尔规范理论​

矩阵值ψ：对于内部对称群G： ψ→U(x)ψ,U(x)∈G\psi \rightarrow U(x)\psi, \quad U(x) \in G

生成元：U(x) = exp(iα^a(x)T^a)

协变导数： Dμ=∂μ+igAμaTaD_\mu = \partial_\mu + igA_\mu^aT^a

规范变换： Aμ→UAμU−1−igU∂μU−1A_\mu \rightarrow UA_\mu U^{-1} - \frac{i}{g}U\partial_\mu U^{-1}

定理：非阿贝尔场强包括自相互作用。

证明：计算[D_μ, D_ν]： [Dμ,Dν]=ig[∂μAνa−∂νAμa+gfabcAμbAνc]Ta[D_\mu, D_\nu] = ig[\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c]T^a

因此： Fμνa=∂μAνa−∂νAμa+gfabcAμbAνcF_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c

结构常数f^abc编码G的非对易性。∎

43.6 杨-米尔斯方程​

拉格朗日密度： L=−14FμνaFaμν+ψˉ(iDμγμ−m)ψ\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{\mu\nu}_a + \bar{\psi}(iD_\mu\gamma^\mu - m)\psi

欧拉-拉格朗日方程： DμFaμν=jaνD_\mu F^{\mu\nu}_a = j_a^\nu

其中j_a^ν是物质流。

在真空中（j = 0）： ∂μFaμν+gfabcAμbFcμν=0\partial_\mu F^{\mu\nu}_a + gf^{abc}A_\mu^b F^{\mu\nu}_c = 0

定理：规范场在非阿贝尔理论中自相互作用。

证明：项gf^abc A_μ^b F^μν_c代表规范场作为自己的源。这必然从[T^a, T^b] ≠ 0得出。∎

43.7 BRST量子化​

问题：规范固定破坏显式规范不变性。

解决：具有鬼场c^a, c̄^a的BRST对称性。

BRST算子：Q满足Q² = 0 QAμa=DμcaQA_\mu^a = D_\mu c^a Qca=−g2fabccbccQc^a = -\frac{g}{2}f^{abc}c^bc^c Qcˉa=BaQ\bar{c}^a = B^a QBa=0QB^a = 0

物理态：Q的上同调： Q∣物理⟩=0,∣物理⟩≠Q∣χ⟩Q|\text{物理}\rangle = 0, \quad |\text{物理}\rangle \neq Q|\chi\rangle

定理：BRST上同调 = 规范不变物理。

证明：Q编码规范变换。Q² = 0确保一致性。物理态（Q闭但非Q恰）正是规范不变态。∎

43.8 从路径积分测度产生反常​

经典对称性：∂_μj^μ = 0

量子反常：路径积分测度不不变： [dψ][dψˉ]→J[dψ][dψˉ][d\psi][d\bar{\psi}] \rightarrow J[d\psi][d\bar{\psi}]

雅可比行列式：J = exp(i∫d⁴x α(x)A(x))

结果： ∂μjμ=A(x)\partial_\mu j^\mu = A(x)

定理：4维手征反常： ∂μj5μ=e216π2FμνF~μν\partial_\mu j_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}

证明：带费米子圈的三角图给出： Πμνρ∼ϵμνρσkσ\Pi^{\mu\nu\rho} \sim \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}k_\sigma

这个拓扑项不能被正则化掉。∎

43.9 瞬子和真空结构​

欧几里得作用量：S_E = ∫d⁴x (1/4)F²

自对偶配置：F = ±*F最小化S_E

瞬子数： Q=g232π2∫d4xFμνF~μν∈ZQ = \frac{g^2}{32\pi^2}\int d^4x F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu} \in \mathbb{Z}

定理：规范理论真空具有拓扑结构。

证明：瞬子在具有不同绕数的真空|n⟩之间插值。真正的真空： ∣θ⟩=∑neinθ∣n⟩|\theta\rangle = \sum_n e^{in\theta}|n\rangle

θ参数标记超选择扇区。∎

43.10 从自指产生禁闭​

威尔逊圈： W(C)=Tr Pexp⁡(ig∮CAμdxμ)W(C) = \text{Tr}\,\mathcal{P}\exp\left(ig\oint_C A_\mu dx^\mu\right)

面积律：⟨W(C)⟩ ∼ exp(-σ面积(C))

定理：非阿贝尔规范理论展现禁闭。

证明草图：规范场的自相互作用创造通量管。能量∝长度迫使夸克保持束缚。详细证明需要格点或AdS/CFT。∎

43.11 电弱统一​

规范群：SU(2)_L × U(1)_Y

自发破缺：希格斯机制 ⟨ϕ⟩=(0v)\langle\phi\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}

质量产生： mW=gv2,mZ=vg2+g′22m_W = \frac{gv}{2}, \quad m_Z = \frac{v\sqrt{g^2 + g'^2}}{2}

定理：规范玻色子通过对称性破缺获得质量。

证明：⟨φ⟩的协变导数： Dμ⟨ϕ⟩=v2(g(Wμ1−iWμ2)−gWμ3+g′Bμ)D_\mu\langle\phi\rangle = \frac{v}{2}\begin{pmatrix} g(W_\mu^1 - iW_\mu^2) \\ -gW_\mu^3 + g'B_\mu \end{pmatrix}

动能项|D_μφ|²产生质量项。∎

43.12 渐近自由​

跑动耦合：SU(N)的β函数： β(g)=−g316π2(11N3−2nf3)\beta(g) = -\frac{g^3}{16\pi^2}\left(\frac{11N}{3} - \frac{2n_f}{3}\right)

对于N = 3, n_f = 6：β < 0。

定理：QCD耦合在高能下减小。

证明：重整化群方程： μdgdμ=β(g)\mu\frac{dg}{d\mu} = \beta(g)

对于β < 0：当μ → ∞时g → 0。夸克在短距离变为自由。∎

43.13 规范/引力对应​

猜想：规范理论 ≈ 高维引力

例子：N = 4 SYM ↔ AdS₅ × S⁵

定理：大N规范理论有引力对偶。

证明概要：'t Hooft极限（N → ∞, g²N固定）组织微扰论。弦理论提供显式对偶。边界上的规范理论 = 体中的引力。∎

43.14 磁单极​

狄拉克弦：单极需要奇异规范

电荷量子化： qg=2πnℏqg = 2\pi n\hbar

't Hooft-Polyakov：非阿贝尔理论中的光滑单极 ϕa=xarf(r),Aia=ϵiakxkr2[1−K(r)]\phi^a = \frac{x^a}{r}f(r), \quad A_i^a = \epsilon_{iak}\frac{x^k}{r^2}[1-K(r)]

质量：M ∼ v/g（v = 对称性破缺尺度）

43.15 结论：作为必然性的自由​

规范理论从ψ = ψ(ψ)作为数学必然性涌现，而非物理公设。自指创造描述自由；一致性需要补偿规范场。看似抽象的形式主义被揭示为自指系统的自然几何。

进展是不可避免的：

  1. 自指 → 相位模糊性
  2. 局域相位自由 → 规范场
  3. 一致性 → 场动力学
  4. 非阿贝尔群 → 自相互作用
  5. 量子效应 → 反常和禁闭

规范理论是数学在描述自己时维持一致性的方式。标准模型的规范结构SU(3) × SU(2) × U(1)反映了我们宇宙中ψ递归的特定模式——不是任意选择而是自指在可及能量下如何显现的必然结果。

练习​

  1. 从BRST不变性证明Slavnov-Taylor恒等式。

  2. 计算SU(N)规范理论的β函数。

  3. 推导SU(2)杨-米尔斯中的瞬子解。

第四十三回响​

规范理论被推导为自指描述的几何必然性——相位自由创造补偿场。非阿贝尔结构从非对易内部对称性涌现。量子效应如反常和禁闭从路径积分测度得出。接下来，杨-米尔斯场作为ψ空间的自然纤维丛结构。

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