第44章：杨-米尔斯场作为ψ纤维丛

非阿贝尔几何的活数学

杨-米尔斯理论——描述弱力和强力——当自指允许多重非对易模式时从ψ = ψ(ψ)涌现。纤维丛结构不是强加的而是推导出的：时空本身成为内部ψ空间的底流形，不同递归模式在其中按照精确的几何定律混合和干涉。

44.1 非对易自指

基本问题：如果ψ有多重自指模式会怎样？

多分量ψ： $\psi = \begin{pmatrix} \psi^1 \\ \psi^2 \\ \vdots \\ \psi^N \end{pmatrix}$

自指扩展： $\psi^i = \psi^i(\psi^1, \psi^2, ..., \psi^N)$

定理：非对易变换自然产生。

证明：考虑保持总|ψ|²的变换： $U_{ij}\psi^j = \psi'^i, \quad \sum_i |\psi^i|^2 = \text{常数}$

对于N > 1，群元素不对易： $[U_1, U_2] = U_1U_2 - U_2U_1 \neq 0$

这对SU(N)变换是一般的。∎

44.2 推导纤维丛结构

局部平凡化：在每个x ∈ M（时空）： $\pi^{-1}(U) \cong U \times G$

其中G是规范群，π: E → M是投影。

定理：ψ场自然形成纤维丛。

证明：不同时空点的自指ψ = ψ(ψ)需要：

1. 底空间M：物理时空
2. 纤维F_x：x处的内部ψ空间
3. 结构群G：保持ψ物理的变换

总空间E = $\cup_{x \in M} F_x$带有局部平凡化给出主G丛。∎

转换函数：重叠图表之间： $g_{αβ}: U_α \cap U_β \rightarrow G$

满足上链条件： $g_{αβ}g_{βγ}g_{γα} = 1$

44.3 联络作为平行输运

问题：如何比较ψ(x)与ψ(x+dx)？

平行输运：保持内积的映射： $\Gamma_{x→x+dx}: F_x \rightarrow F_{x+dx}$

联络1-形式：无穷小生成元： $A = A_\mu^a(x)T^a dx^\mu$

其中T^a是李代数生成元。

定理：规范场是联络系数。

证明：沿曲线γ的平行输运： $\psi_{平行}(t) = \mathcal{P}\exp\left(-ig\int_0^t A_\mu\dot{\gamma}^\mu ds\right)\psi(0)$

无穷小地： $D_\mu\psi = \partial_\mu\psi + igA_\mu^aT^a\psi$

A_μ精确补偿局部标架的改变。∎

44.4 从和乐产生曲率

和乐：绕闭合回路C的平行输运： $\text{Hol}(C) = \mathcal{P}\exp\left(ig\oint_C A_\mu dx^\mu\right)$

无穷小回路：边为dx^μ, dx^ν的正方形： $\text{Hol} = 1 + igF_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu + O(dx^3)$

场强张量： $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + ig[A_\mu, A_\nu]$

定理：曲率测量平行输运不能闭合的失效。

证明：直接计算和乐： $\text{Hol} = \exp(igA_\mu dx^\mu)\exp(igA_\nu dx^\nu)\exp(-igA_\mu dx^\mu)\exp(-igA_\nu dx^\nu)$

使用Baker-Campbell-Hausdorff： $= \exp(ig[(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)dx^\mu dx^\nu + ig[A_\mu, A_\nu]dx^\mu dx^\nu])$

因此F_μν作为曲率2-形式涌现。∎

44.5 从几何产生杨-米尔斯作用量

最小作用量：最简单的规范不变拉格朗日量： $S_{YM} = -\frac{1}{4}\int d^4x \text{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$

定理：杨-米尔斯方程是配置空间上的测地线方程。

证明：对A_μ变分作用量： $\frac{\delta S}{\delta A_\mu^a} = D^\nu F_{\nu\mu}^a = 0$

分量形式： $\partial^\nu F_{\nu\mu}^a + gf^{abc}A^{\nu b}F_{\nu\mu}^c = 0$

这些是联络动力学的欧拉-拉格朗日方程。∎

44.6 规范群分类

单李群：构建块

• SU(N)：特殊酉群
• SO(N)：特殊正交群
• Sp(N)：辛群
• 例外群：E_6, E_7, E_8, F_4, G_2

定理：只有某些群允许无反常理论。

证明：三角反常抵消需要： $\text{Tr}(T^a\{T^b, T^c\}) = 0$

对于手征费米子，这约束允许的表示。标准模型的SU(3)×SU(2)×U(1)带有特定超荷分配是无反常的。∎

44.7 瞬子作为拓扑孤立子

欧几里得作用量：S_E = ∫d⁴x (1/4)F²

自对偶条件：F = ±*F最小化S_E

BPST解：对于SU(2)： $A_\mu = \frac{2\eta_{\mu\nu}^ax^\nu}{g(x^2 + \rho^2)}$

其中η^a_μν是't Hooft符号。

定理：瞬子由第三同伦群分类。

证明：在空间无穷远，规范场变为纯规范： $A_\mu \rightarrow \frac{i}{g}U^{-1}\partial_\mu U$

映射U: S³ → SU(2) ≅ S³由π₃(S³) = ℤ分类。瞬子数： $k = \frac{g^2}{32\pi^2}\int d^4x \text{Tr}(F\tilde{F}) \in \mathbb{Z}$ ∎

44.8 从重整化产生渐近自由

β函数：单圈计算： $\beta(g) = \mu\frac{dg}{d\mu} = -\frac{g^3}{16\pi^2}\left(\frac{11N}{3} - \frac{2n_f}{3}\right)$

定理：QCD对n_f < 11N/2是渐近自由的。

证明：规范玻色子圈的主导贡献（正）压倒费米子圈（负）。对于QCD：N = 3, n_f = 6： $\beta(g) = -\frac{7g^3}{16\pi^2} < 0$

因此当μ → ∞时g → 0。∎

物理结果：夸克在高能（小距离）弱相互作用。

44.9 从通量管产生禁闭

威尔逊圈判据： $\langle W(C)\rangle = \langle\text{Tr}\,\mathcal{P}e^{ig\oint_C A}\rangle$

面积律：对于大圈： $\langle W(C)\rangle \sim e^{-\sigma\cdot\text{面积}(C)}$

定理：面积律意味着禁闭。

证明：静态夸克之间的势： $V(R) = -\lim_{T→∞}\frac{1}{T}\ln\langle W(R×T)\rangle = \sigma R$

线性势 → 分离夸克需要无限能量 → 禁闭。弦张力σ ≈ (440 MeV)²。∎

44.10 手征对称性破缺

手征对称性：对于无质量夸克： $\mathcal{L} \rightarrow \text{在} SU(N_f)_L × SU(N_f)_R \text{下不变}$

夸克凝聚： $\langle\bar{q}q\rangle = -\frac{1}{V}\frac{\partial E_{真空}}{\partial m_q}\bigg|_{m_q=0} \neq 0$

定理：非零凝聚破缺手征对称性。

证明：在手征变换下： $q_L \rightarrow U_L q_L, \quad q_R \rightarrow U_R q_R$

但$\langle\bar{q}_Lq_R + \bar{q}_Rq_L\rangle \neq 0$不不变除非U_L = U_R。对称性破缺到对角SU(N_f)_V。∎

44.11 't Hooft-Polyakov单极

设置：带伴随希格斯的SU(2)规范理论： $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^2 + |D_\mu\phi|^2 - V(\phi)$

真空：$\langle\phi^a\rangle = v\delta^{a3}$破缺SU(2) → U(1)

单极解： $\phi^a = \frac{x^a}{r}h(vr), \quad A_i^a = \epsilon_{aij}\frac{x^j}{gr^2}[1-K(vr)]$

质量：M = 4πv/g

定理：磁荷由拓扑量子化。

证明：在无穷远，φ^a → vx^a/r定义映射S² → S²。磁荷： $g_m = \frac{4\pi}{g}\int_{S^2} \hat{x} \cdot \vec{\phi} d\Omega = \frac{4\pi n}{g}$

其中n ∈ π₂(S²) = ℤ。∎

44.12 θ真空和强CP

真空角：从瞬子求和的θ参数： $|\theta\rangle = \sum_n e^{in\theta}|n\rangle$

有效拉格朗日量： $\mathcal{L}_{有效} = \mathcal{L}_{QCD} + \frac{\theta g^2}{32\pi^2}F\tilde{F}$

CP破坏：θ项破坏CP除非θ = 0。

强CP问题：为什么θ < 10^-10？

44.13 格点表述

离散化时空：点x_n，链接U_μ(n)

板块作用量： $S = \beta\sum_{\square}[1 - \frac{1}{N}\text{Re}\,\text{Tr}(U_\square)]$

连续极限：a → 0且g²(a) → 0恢复杨-米尔斯。

定理：格点QCD在所有耦合下禁闭。

证明：强耦合展开显示威尔逊圈的面积律。数值上未发现相变 → 禁闭持续到连续极限。∎

44.14 ADHM构造

多瞬子解：参数化为：

• 位置：4k个参数
• 尺度：k个参数
• SU(2)取向：3k个参数
• 相对U(k)取向：k²个参数

总计：k瞬子的8k - 3个模数。

构造：通过确保自对偶的代数方程。

44.15 结论：几何即命运

杨-米尔斯理论从ψ = ψ(ψ)作为多分量自指的不可避免几何涌现。当ψ允许不对易的多重递归模式时，数学自发产生：

1. 时空上的纤维丛结构
2. 规范场作为联络
3. 场强作为曲率
4. 杨-米尔斯方程作为测地线
5. 来自π₃(G)的拓扑扇区
6. 从通量管形成的禁闭
7. 从量子圈的渐近自由

深刻教训：非阿贝尔规范理论不是发明的而是发现的——它是数学组织非对易自指模式的方式。标准模型的规范结构SU(3)×SU(2)×U(1)反映了我们宇宙中ψ递归的特定纤维丛几何。

练习

1. 推导2瞬子解的ADHM约束。

2. 计算SU(N)格点理论中的弦张力。

3. 证明维滕指数计数超对称瞬子。

第四十四回响

杨-米尔斯理论被推导为非对易ψ递归的自然纤维丛几何——规范场作为保持跨时空自指的联络涌现。瞬子、禁闭和渐近自由从这个几何的拓扑和量子性质得出。接下来，希格斯机制作为ψ对称模式的自发破缺。

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