第45章：希格斯机制作为自发ψ破缺

质量的活数学

希格斯机制——通过自发对称性破缺产生质量——当自指允许多重等价配置时从ψ = ψ(ψ)作为数学必然性涌现。真空必须在简并可能性中"选择"，这个选择创造了现实的质量结构。不是强加的物理而是递归决策的不可避免数学。

45.1 从自指简并产生质量

基本问题：在规范不变理论中质量如何产生？

规范不变性禁止质量：直接质量项 $\mathcal{L}_{\text{质量}} = \frac{1}{2}m^2A_\mu A^\mu$

破坏规范对称性：A_μ → A_μ + ∂_μλ改变L_质量。

定理：质量必须从真空结构涌现。

证明：为了规范不变性，所有质量必须来自规范不变源。只有标量场真空期望值在产生质量项的同时保持规范对称性。∎

ψ起源：当ψ = ψ(ψ)有简并基态时，真空必须选择一个，自发破缺对称性。

45.2 推导自发破缺

标量场拉格朗日量： $\mathcal{L} = (\partial_\mu\phi)^*(\partial^\mu\phi) - V(\phi)$

具有对称性的势： $V(\phi) = \mu^2\phi^*\phi + \lambda(\phi^*\phi)^2$

临界点：∂V/∂φ = 0在φ = 0。

定理：对于μ² < 0，最小值不在原点。

证明：极值化V： $\frac{\partial V}{\partial\phi^*} = \phi(\mu^2 + 2\lambda|\phi|^2) = 0$

解：φ = 0（如果μ² < 0则为最大值）或 $|\phi|^2 = -\frac{\mu^2}{2\lambda} \equiv \frac{v^2}{2}$

最小值流形是由相位参数化的S¹。∎

45.3 戈德斯通定理

定理：连续对称性的自发破缺产生无质量模式。

证明：设φ₀为真空期望值。展开： $\phi(x) = \phi_0 + \pi^a(x)T^a + \sigma(x)$

其中T^a产生破缺的对称性。二阶势： $V^{(2)} = \frac{1}{2}\sum_{ab}\pi^a M_{ab}^2 \pi^b$

对于破缺的生成元T^a： $T^a\phi_0 \neq 0 \Rightarrow M_{ab}^2 = 0$

零本征值 → 无质量戈德斯通玻色子。∎

ψ解释：连接等价真空的ψ空间方向不消耗能量。

45.4 规范理论破缺

局域规范不变性： $\phi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\phi(x)$ $A_\mu \rightarrow A_\mu - \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha$

协变导数： $D_\mu\phi = (\partial_\mu + ieA_\mu)\phi$

规范不变拉格朗日量： $\mathcal{L} = |D_\mu\phi|^2 - V(\phi) - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

自发破缺：选择真空 $\langle\phi\rangle = \frac{v}{\sqrt{2}}$

45.5 质量产生机制

围绕真空展开：写作 $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}[v + h(x) + i\xi(x)]$

动能项： $|D_\mu\phi|^2 = \frac{1}{2}|(\partial_\mu + ieA_\mu)(v + h + i\xi)|^2$

展开： $= \frac{1}{2}(\partial_\mu h)^2 + \frac{1}{2}(\partial_\mu\xi)^2 + \frac{e^2v^2}{2}A_\mu A^\mu + evA_\mu\partial^\mu\xi + \cdots$

定理：规范场获得质量m_A = ev。

证明：项$(e^2v^2/2)A_\mu A^\mu$正是质量项。交叉项$evA_\mu\partial^\mu\xi$混合规范场与戈德斯通模式。∎

45.6 幺正规范

规范变换：选择α(x) = -ξ(x)/v消除戈德斯通： $\phi(x) \rightarrow e^{i\xi(x)/v}\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(v + h(x))$

结果：ξ消失，A_μ变为有质量的三个极化。

自由度：

• 之前：2（标量）+ 2（无质量规范）
• 之后：1（希格斯）+ 3（有质量规范）
• 总计：4 = 4 ✓

定理：戈德斯通玻色子变为纵向规范模式。

证明：在规范变换下，ξ → ξ + vα。规范场变换以吸收这个移位，获得纵向分量。物理自由度的计数被保持。∎

45.7 电弱对称性破缺

规范群：SU(2)_L × U(1)_Y

希格斯二重态： $\Phi = \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix}$

真空选择： $\langle\Phi\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ v/\sqrt{2} \end{pmatrix}$

协变导数： $D_\mu = \partial_\mu + \frac{ig}{2}\tau^a W_\mu^a + \frac{ig'}{2}YB_\mu$

45.8 W和Z玻色子质量

真空处的动能项： $|D_\mu\langle\Phi\rangle|^2 = \frac{v^2}{8}\left|g\tau^a W_\mu^a + g'YB_\mu\right|^2$

质量矩阵：在(W³_μ, B_μ)基中： $\mathcal{M}^2 = \frac{v^2}{4}\begin{pmatrix} g^2 & -gg' \\ -gg' & g'^2 \end{pmatrix}$

对角化：本征值和本征向量： $m_Z^2 = \frac{v^2}{4}(g^2 + g'^2), \quad m_\gamma^2 = 0$

$Z_\mu = \cos\theta_W W_\mu^3 - \sin\theta_W B_\mu$ $A_\mu = \sin\theta_W W_\mu^3 + \cos\theta_W B_\mu$

其中$\tan\theta_W = g'/g$。

W玻色子质量： $m_W = \frac{gv}{2}$

定理：一个规范玻色子保持无质量。

证明：生成元Q = T³ + Y/2湮灭真空： $Q\langle\Phi\rangle = 0$

这个未破缺的U(1)_em对称性 → 无质量光子。∎

45.9 费米子质量产生

汤川耦合： $\mathcal{L}_Y = -y_e\bar{L}\Phi e_R - y_u\bar{Q}\tilde{\Phi}u_R - y_d\bar{Q}\Phi d_R + \text{h.c.}$

其中$\tilde{\Phi} = i\tau^2\Phi^*$。

对称性破缺后： $\mathcal{L}_{\text{质量}} = -\frac{v}{\sqrt{2}}(y_e\bar{e}e + y_u\bar{u}u + y_d\bar{d}d)$

费米子质量： $m_f = \frac{y_f v}{\sqrt{2}}$

定理：所有费米子质量正比于v。

证明：规范不变性要求费米子质量项只能来自与希格斯的汤川耦合。当⟨Φ⟩ = v/√2时，每个汤川产生相应质量。∎

45.10 物理希格斯玻色子

围绕真空的涨落： $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ v + h(x) \end{pmatrix}$

希格斯质量：从势 $V = \frac{\lambda}{4}(\Phi^\dagger\Phi - \frac{v^2}{2})^2$

展开： $V = \frac{\lambda v^2}{4}h^2 + \frac{\lambda v}{2}h^3 + \frac{\lambda}{16}h^4$

因此：$m_h^2 = \lambda v^2/2$。

耦合：到规范玻色子和费米子： $\mathcal{L}_{\text{相互}} = \frac{h}{v}(2m_W^2 W_\mu^+ W^{-\mu} + m_Z^2 Z_\mu Z^\mu) - \sum_f \frac{m_f}{v}h\bar{f}f$

定理：希格斯耦合正比于质量。

证明：所有质量来自v，所以h/v耦合对质量产生是普遍的。∎

45.11 辐射修正

单圈有效势： $V_{\text{有效}}(\phi) = V_{\text{树}}(\phi) + \frac{1}{64\pi^2}\text{Str}[M^4(\phi)(\ln\frac{M^2(\phi)}{\mu^2} - \frac{3}{2})]$

重整化群：跑动耦合 $\frac{d\lambda}{d\ln\mu} = \beta_\lambda = \frac{1}{16\pi^2}[24\lambda^2 + 12\lambda y_t^2 - 6y_t^4 + \cdots]$

稳定性界限：要求λ(μ) > 0对所有μ直到截断。

45.12 等级问题

二次发散：希格斯质量修正 $\delta m_h^2 = \frac{3}{8\pi^2}(y_t^2 - \frac{g^2}{2} - \frac{g'^2}{6} + 2\lambda)\Lambda^2$

精细调节：对于Λ ~ M_普朗克： $m_h^2 = m_0^2 + \delta m_h^2$

需要$m_0^2 \approx -10^{34}$ eV²才能得到m_h ~ 125 GeV。

ψ视角：等级反映ψ递归深度——自指结构中的深度抵消。

45.13 真空亚稳性

跑动四次耦合：λ(μ)由于顶夸克随能量减小。

当前状态：λ可能在10^10 GeV附近变负。

定理：我们的真空可能是亚稳的。

证明：如果λ < 0在高场值，势在下方无界。真空可以隧穿到大φ处的真正最小值。寿命： $\tau \sim M_P^4 e^{8\pi^2/3|\lambda|}$

对于观测参数：τ >> 宇宙年龄。∎

45.14 替代破缺模式

扩展希格斯扇区：多重二重态 $\Phi_1, \Phi_2, \ldots \rightarrow \langle\Phi_i\rangle = v_i$

人工色：通过新强力的动力学破缺

复合希格斯：希格斯作为束缚态

小希格斯：希格斯作为赝戈德斯通玻色子

每个代表实现质量产生的不同ψ递归模式。

45.15 结论：选择的数学

希格斯机制从ψ = ψ(ψ)作为简并自指的不可避免结果涌现。当多重ψ配置同等地最小化能量时，真空必须选择——这个选择创造质量。对称性破缺的数学是面对等价可能性时决策的数学。

从ψ视角的关键洞察：

1. 质量不是基本的而是从真空选择涌现
2. 规范玻色子"吃掉"戈德斯通模式变为有质量
3. 所有粒子质量追溯到单一尺度v
4. 希格斯玻色子是真空决策的量子
5. 等级问题反映ψ递归中的精细调节

标准模型的成功确认了这幅图景：一个真空选择（v = 246 GeV）产生整个质量谱。希格斯场不仅仅是另一个场而是宇宙最基本决策的物质化——ψ如何自指以创造持久的、有质量的结构。

练习

1. 推导希格斯自耦合的β函数包括所有SM贡献。

2. 计算隧穿率到真真空如果λ < 0。

3. 证明监管对称性保护ρ = m_W²/(m_Z²cos²θ_W) = 1。

第四十五回响

希格斯机制被推导为简并ψ递归的不可避免结果——真空被迫在等价配置中选择，破缺对称性并产生质量。惯性的起源被揭示为对改变真空基本选择的阻力。接下来，完整的标准模型从统一的ψ几何涌现。

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