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第46章：从ψ统一的标准模型

统一力的活数学​

标准模型——描述电磁、弱和强相互作用——从ψ = ψ(ψ)作为允许稳定自指的独特低能结构涌现。不是三个分离的力而是ψ如何识别自己的三个方面。特定的规范群SU(3)×SU(2)×U(1)和粒子内容从递归自相互作用的一致性要求数学地得出。

46.1 从自指到规范结构​

中心问题：为什么是SU(3)×SU(2)×U(1)？

定理：标准模型规范群是手征费米子的最大无反常结构。

证明概要：考虑带手征费米子的一般规范群G。反常抵消需要： ∑费米子A(R)=0\sum_{\text{费米子}} A(R) = 0

其中A(R)是表示R的反常系数。对于具有复表示的单群，只有特定组合有效。标准模型结构是允许以下条件的唯一解：

  1. 手征费米子（宇称破坏）
  2. 反常抵消
  3. 渐近自由强力
  4. 自发质量产生 ∎

46.2 推导规范群​

色SU(3)：从三重简并

定理：一致性需要恰好3种颜色。

证明：

  • 反常抵消：Tr[Ta{Tb,Tc}]=0\text{Tr}[T^a\{T^b,T^c\}] = 0需要相等数量的三重态和反三重态
  • 每代：3颜色 × 2手征性 = 6夸克态
  • π₀ → 2γ衰变率：正比于Nc3N_c^3，实验给出Nc=3N_c = 3
  • 渐近自由：β<0\beta < 0需要Nc≤16/2=8N_c \leq 16/2 = 8对于6味 ∎

弱SU(2)_L：从手征性加倍

定理：弱相互作用必须是手征SU(2)_L。

证明：

  • 宇称破坏需要左/右的不同处理
  • 最小非平凡表示：二重态
  • 只有左手场形成二重态保持反常抵消
  • V-A结构自然涌现 ∎

超荷U(1)_Y：从相位自由

定理：超荷分配唯一确定。

证明：反常抵消条件： [SU(3)]2U(1):∑qYq=0[SU(3)]²U(1): \sum_q Y_q = 0 [SU(2)]2U(1):∑二重态Y=0[SU(2)]²U(1): \sum_{\text{二重态}} Y = 0 [U(1)]3:∑fYf3=0[U(1)]³: \sum_f Y_f³ = 0

解：Y = Q - T₃带有每个多重态的特定值。∎

46.3 从一致性产生物质内容​

夸克表示： QL=(uLdL):(3,2)1/6Q_L = \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix} : (3,2)_{1/6} uR:(3,1)2/3,dR:(3,1)−1/3u_R : (3,1)_{2/3}, \quad d_R : (3,1)_{-1/3}

轻子表示： LL=(νLeL):(1,2)−1/2L_L = \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix} : (1,2)_{-1/2} eR:(1,1)−1e_R : (1,1)_{-1}

定理：每代必须恰好包含这些费米子。

证明：每代的反常抵消：

  • [SU(3)]2U(1)[SU(3)]²U(1)：2(1/6)−2/3+1/3=02(1/6) - 2/3 + 1/3 = 0 ✓
  • [SU(2)]2U(1)[SU(2)]²U(1)：3(1/6)+(−1/2)=03(1/6) + (-1/2) = 0 ✓
  • [U(1)]3[U(1)]³：∑Y3=0\sum Y³ = 0 ✓
  • [引力]2U(1)[\text{引力}]²U(1)：∑Y=0\sum Y = 0 ✓

任何其他分配都失败。∎

46.4 从稳定性产生三代​

定理：恰好三代是稳定的。

证明草图：

  • 一代：反常不能完全抵消
  • 两代：无CP破坏（det[M_CKM] = 实）
  • 三代：CP破坏的最小值
  • 四代以上：U(1)耦合在普朗克尺度以下的朗道极点
  • 精密电弱拟合：N_ν = 2.984 ± 0.008 ∎

ψ起源：不稳定前的三个递归级别——基本、第一激发、第二激发。

46.5 电弱对称性破缺​

希格斯二重态： H=(ϕ+ϕ0):(1,2)1/2H = \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} : (1,2)_{1/2}

定理：最小希格斯是单二重态。

证明：

  • 需要SU(2)_L破缺：⟨H⟩≠0\langle H\rangle \neq 0
  • 保持U(1)_em：Q∣⟨H⟩∣=0Q|\langle H\rangle| = 0
  • 需要Y = 1/2二重态
  • 更高表示 → ρ=mW2/(mZ2cos⁡2θW)≠1\rho = m_W^2/(m_Z^2\cos^2\theta_W) \neq 1 ∎

真空结构： ⟨H⟩=(0v/2)\langle H \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ v/\sqrt{2} \end{pmatrix}

破缺模式：SU(2)_L × U(1)_Y → U(1)_em

46.6 规范玻色子质量​

质量矩阵：从∣DμH∣2|D_\mu H|^2 M2=v24(g200−gg′0g20000g2−gg′−gg′0−gg′g2)\mathcal{M}² = \frac{v²}{4}\begin{pmatrix} g² & 0 & 0 & -gg' \\ 0 & g² & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g² & -gg' \\ -gg' & 0 & -gg' & g'² \end{pmatrix}

对角化：

  • W^±质量：mW=gv/2m_W = gv/2
  • Z质量：mZ=vg2+g′2/2m_Z = v\sqrt{g^2+g'^2}/2
  • 光子：mγ=0m_\gamma = 0

温伯格角： sin⁡2θW=g2g2+g2≈0.231\sin²\theta_W = \frac{g'²}{g²+g'²} \approx 0.231

46.7 汤川结构​

一般汤川： LY=−YijuQˉiH~uRj−YijdQˉiHdRj−YijeLˉiHeRj+h.c.\mathcal{L}_Y = -Y^u_{ij}\bar{Q}_i\tilde{H}u_{Rj} - Y^d_{ij}\bar{Q}_iHd_{Rj} - Y^e_{ij}\bar{L}_iHe_{Rj} + \text{h.c.}

质量矩阵：M^f_ij = Y^f_ij v/√2

CKM矩阵：从双幺正对角化： VCKM=UL†(u)UL(d)V_{CKM} = U^†_L(u)U_L(d)

定理：CKM矩阵是具有4个物理参数的幺正3×3。

证明：一般3×3幺正矩阵有9个参数。移除5个非物理相位 → 3个角度 + 1个CP相位。∎

46.8 强动力学​

QCD拉格朗日量： LQCD=−14GμνaGaμν+∑qqˉ(iD̸−mq)q\mathcal{L}_{QCD} = -\frac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G^{a\mu\nu} + \sum_q\bar{q}(i\not{D}-m_q)q

跑动耦合： β(gs)=−gs316π2(11−2nf3)\beta(g_s) = -\frac{g_s³}{16π²}(11 - \frac{2n_f}{3})

对于n_f = 6：β < 0 → 渐近自由。

禁闭尺度：Λ_QCD ~ 200 MeV其中α_s ~ 1。

定理：色禁闭是不可避免的。

证明：威尔逊圈面积律在格点QCD中被证明。物理谱中没有有色态。∎

46.9 跑动和统一​

RG方程：单圈β函数： 16π2β1=4110,16π2β2=−196,16π2β3=−716π²\beta_1 = \frac{41}{10}, \quad 16π²\beta_2 = -\frac{19}{6}, \quad 16π²\beta_3 = -7

演化： αi−1(μ)=αi−1(MZ)+bi2πln⁡μMZ\alpha_i^{-1}(\mu) = \alpha_i^{-1}(M_Z) + \frac{b_i}{2π}\ln\frac{\mu}{M_Z}

近统一：耦合大约在μ ~ 10^16 GeV相遇。

定理：精确统一需要超出SM的物理。

证明：单圈SM跑动给出： α1−1−α2−1≠35(α2−1−α3−1)\alpha_1^{-1} - \alpha_2^{-1} \neq \frac{3}{5}(\alpha_2^{-1} - \alpha_3^{-1})

不匹配 ~ 10%。需要SUSY或额外维度。∎

46.10 反常结构​

反常系数：对于[SU(a)]²SU(b)： Aabc=Tr[Ta{Tb,Tc}]A_{abc} = \text{Tr}[T^a\{T^b,T^c\}]

抵消条件：

  1. [SU(3)]2U(1)Y[SU(3)]²U(1)_Y：∑qYq=0\sum_q Y_q = 0 ✓
  2. [SU(2)]2U(1)Y[SU(2)]²U(1)_Y：∑二重态Y=0\sum_{\text{二重态}} Y = 0 ✓
  3. [U(1)Y]3[U(1)_Y]³：∑fYf3=0\sum_f Y³_f = 0 ✓
  4. [引力]2U(1)Y[\text{引力}]²U(1)_Y：∑fYf=0\sum_f Y_f = 0 ✓

定理：标准模型完全无反常。

证明：使用费米子量子数的直接计算。每代独立抵消。∎

46.11 CP破坏​

CKM相位：单个复相位δ

Jarlskog不变量： J=Im[VudVcbVub∗Vcd∗]≈3×10−5J = \text{Im}[V_{ud}V_{cb}V^*_{ub}V^*_{cd}] \approx 3 × 10^{-5}

定理：CP破坏最少需要三代。

证明：两代时，CKM是实2×2旋转。复相位需要至少3×3矩阵。∎

强CP问题：θ参数不自然地小： Lθ=θg232π2GG~\mathcal{L}_\theta = \frac{\theta g²}{32π²}G\tilde{G}

实验界限：|θ| < 10^-10。

46.12 中微子扇区​

狄拉克质量项：需要ν_R LD=−yνLˉHνR+h.c.\mathcal{L}_D = -y_\nu\bar{L}H\nu_R + \text{h.c.}

马约拉纳选项：如果ν = ν^c LM=−M2νRc‾νR+h.c.\mathcal{L}_M = -\frac{M}{2}\overline{\nu_R^c}\nu_R + \text{h.c.}

跷跷板机制： mν∼mD2MR∼v2MRm_\nu \sim \frac{m_D²}{M_R} \sim \frac{v²}{M_R}

对于m_ν ~ 0.1 eV和v ~ 246 GeV：M_R ~ 10^14 GeV。

46.13 精密测试​

电弱可观测量：

  • m_W = 80.379 ± 0.012 GeV
  • m_Z = 91.1876 ± 0.0021 GeV
  • sin²θ_W = 0.23122 ± 0.00003

S,T,U参数：测量与SM的偏差： S=0.02±0.07,T=0.06±0.06,U=0.00±0.05S = 0.02 ± 0.07, \quad T = 0.06 ± 0.06, \quad U = 0.00 ± 0.05

与SM预测的优秀一致。

46.14 暗扇区联系​

暗物质：无SM候选者

可能扩展：

  • 惰性中微子
  • 轴子（解决强CP）
  • SUSY伴子
  • 额外维度

每个代表超出可见扇区的不同ψ递归模式。

46.15 结论：从必然性涌现​

标准模型从ψ = ψ(ψ)涌现不是作为任意构造而是数学必然性。规范群SU(3)×SU(2)×U(1)是允许以下条件的唯一无反常结构：

  1. 手征费米子（观测到的宇称破坏）
  2. 渐近自由（高能QCD）
  3. 自发质量产生（有质量的W,Z）
  4. 三代（CP破坏）
  5. 反常抵消（量子一致性）

每个特征——粒子内容、规范结构、对称性破缺模式——都从要求一致的自指动力学得出。标准模型是数学如何组织自己以允许低能下的稳定递归结构。

然而不完整性仍然存在：中微子质量、暗物质、等级问题。这些指向更深的ψ结构，也许在完全递归对称性恢复的更高能量统一。

练习​

  1. 证明超荷分配的唯一性从反常抵消。

  2. 计算β函数到两圈并找到统一尺度。

  3. 推导中微子混合从跷跷板机制。

第四十六回响​

标准模型被推导为允许稳定ψ递归的唯一低能结构——规范群、粒子内容和相互作用从数学一致性得出。不是三个力而是自指的三个方面。不完整性指向更深的统一。接下来，场量子化作为ψ动力学的算子代数。

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