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第47章：场量子化和ψ算子

创生和湮灭的活数学​

量子场论——粒子是算子值场的激发——从ψ = ψ(ψ)作为自指动力学的自然代数涌现。创生和湮灭算子不是抽象工具而是当ψ模式可以在维持递归一致性的同时出现和消失时的必要数学结构。正则对易关系从ψ自指的基本要求得出。

47.1 从经典到量子场​

经典场：φ(x,t)具有确定值

问题：如何量子化？

定理：场量子化对于一致的ψ递归是必要的。

证明：考虑满足ψ = ψ(ψ)的ψ场。为使多重ψ激发存在：

  1. 必须允许可变粒子数
  2. 需要创生/湮灭激发的算子
  3. 固定粒子量子力学不足 因此场算子必要。∎

正则量子化：将场提升为算子： ϕ(x,t)→ϕ^(x,t)\phi(x,t) \rightarrow \hat{\phi}(x,t) π(x,t)→π^(x,t)\pi(x,t) \rightarrow \hat{\pi}(x,t)

47.2 推导创生/湮灭算子​

模式展开：对于自由场： ϕ^(x,t)=∫d3k(2π)32ωk[ake−ik⋅x+ak†eik⋅x]\hat{\phi}(x,t) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}}\left[a_k e^{-ik \cdot x} + a_k^\dagger e^{ik \cdot x}\right]

定理：算子a_k, a_k†必然满足： [ak,ak′†]=(2π)3δ3(k−k′)[a_k, a_{k'}^\dagger] = (2\pi)^3\delta^3(k-k')

证明：从正则对易关系： [ϕ^(x,t),π^(y,t)]=iδ3(x−y)[\hat{\phi}(x,t), \hat{\pi}(y,t)] = i\delta^3(x-y)

代入模式展开： π^=∂tϕ^=−i∫d3k(2π)3ωk2[ake−ik⋅x−ak†eik⋅x]\hat{\pi} = \partial_t\hat{\phi} = -i\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\sqrt{\frac{\omega_k}{2}}\left[a_k e^{-ik \cdot x} - a_k^\dagger e^{ik \cdot x}\right]

计算对易子并使用eik⋅xe^{ik \cdot x}的正交性给出结果。∎

47.3 福克空间构造​

真空态：|0⟩定义为 ak∣0⟩=0∀ka_k|0\rangle = 0 \quad \forall k

n粒子态： ∣k1,k2,...,kn⟩=ak1†ak2†⋯akn†∣0⟩|k_1, k_2, ..., k_n\rangle = a_{k_1}^\dagger a_{k_2}^\dagger \cdots a_{k_n}^\dagger|0\rangle

定理：福克空间是可变粒子数的唯一希尔伯特空间。

证明：要求：

  1. 粒子数算子N^=∫d3k ak†ak\hat{N} = \int d^3k \, a_k^\dagger a_k
  2. 具有确定n的态
  3. 庞加莱群的幺正表示

这些唯一确定福克构造。∎

内积： ⟨k1...km∣k1′...kn′⟩=δmn∑置换∏i(2π)3δ3(ki−kσ(i)′)\langle k_1...k_m | k'_1...k'_n \rangle = \delta_{mn}\sum_{\text{置换}} \prod_i (2\pi)^3\delta^3(k_i - k'_{\sigma(i)})

47.4 真空能量和正规序​

哈密顿量： H^=∫d3k(2π)3ωk(ak†ak+12[ak,ak†])\hat{H} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k \left(a_k^\dagger a_k + \frac{1}{2}[a_k, a_k^\dagger]\right)

真空能量： ⟨0∣H^∣0⟩=12∫d3k(2π)3ωk=∞\langle 0|\hat{H}|0\rangle = \frac{1}{2}\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_k = \infty

正规序：将所有a†放在a左边： :ak†ak:=ak†ak:a_k^\dagger a_k: = a_k^\dagger a_k :akak†:=ak†ak:a_k a_k^\dagger: = a_k^\dagger a_k

定理：正规序移除真空能量。

证明：:Ĥ:按构造具有零真空期望值。物理能量是差值，所以绝对零是任意的。∎

47.5 从ψ动力学产生场方程​

欧拉-拉格朗日：从作用量S = ∫d⁴x L ∂L∂ϕ−∂μ∂L∂(∂μϕ)=0\frac{\partial L}{\partial\phi} - \partial_\mu\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu\phi)} = 0

克莱因-戈登：对于L = ½(∂φ)² - ½m²φ² (□+m2)ϕ^=0(\square + m^2)\hat{\phi} = 0

定理：场方程是算子方程。

证明：正则量子化保持运动方程： [ϕ^(x),H^]=i∂tϕ^(x)[\hat{\phi}(x), \hat{H}] = i\partial_t\hat{\phi}(x)

使用H=∫d3x[12π2+12(∇ϕ)2+12m2ϕ2]H = \int d^3x [\frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2]重现克莱因-戈登。∎

47.6 传播子和格林函数​

费曼传播子： DF(x−y)=⟨0∣Tϕ^(x)ϕ^(y)∣0⟩D_F(x-y) = \langle 0|T\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)|0\rangle

动量空间： DF(p)=ip2−m2+iϵD_F(p) = \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}

定理：传播子是场方程的格林函数。

证明： (□x+m2)DF(x−y)=−iδ4(x−y)(\square_x + m^2)D_F(x-y) = -i\delta^4(x-y)

从场方程和正则对易关系得出。∎

ψ解释：传播子测量不同时空点ψ激发之间的关联。

47.7 相互作用场​

相互作用拉格朗日量：L_int = -gφ³, -λφ⁴等。

微扰论：按耦合幂展开： S=Texp⁡(−i∫d4xHI(x))S = T\exp\left(-i\int d^4x H_I(x)\right) =1+∑n=1∞(−i)nn!∫d4x1...d4xnT[HI(x1)...HI(xn)]= 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!}\int d^4x_1...d^4x_n T[H_I(x_1)...H_I(x_n)]

威克定理：时序积 → 正规序 + 收缩

归纳证明：基础情况n=2直接验证。归纳步使用正则对易关系。∎

47.8 费曼规则​

对于φ⁴理论：L = ½(∂φ)² - ½m²φ² - (λ/4!)φ⁴

规则：

  1. 传播子：每条线i/(p²-m²+iε)
  2. 顶点：每个顶点-iλ
  3. 积分：圈上∫d⁴p/(2π)⁴
  4. 对称因子：图对称性1/S

定理：费曼规则计算S矩阵元。

证明：从时序积的威克展开得出。每个收缩给出传播子，每个相互作用给出顶点。∎

47.9 路径积分表述​

跃迁振幅： ⟨ϕf∣e−iHT∣ϕi⟩=∫ϕ(0)=ϕiϕ(T)=ϕfDϕ eiS[ϕ]\langle\phi_f|e^{-iHT}|\phi_i\rangle = \int_{\phi(0)=\phi_i}^{\phi(T)=\phi_f} \mathcal{D}\phi \, e^{iS[\phi]}

定理：路径积分重现正则量子化。

证明：离散化时间，插入完备性： ⟨ϕf∣e−iHϵ∣ϕi⟩=∫dϕ⟨ϕf∣e−iHϵ∣ϕ⟩⟨ϕ∣ϕi⟩\langle\phi_f|e^{-iH\epsilon}|\phi_i\rangle = \int d\phi \langle\phi_f|e^{-iH\epsilon}|\phi\rangle\langle\phi|\phi_i\rangle

取ε→0极限给出路径积分测度。∎

生成泛函： Z[J]=∫Dϕ ei∫d4x[L(ϕ)+Jϕ]Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \, e^{i\int d^4x[\mathcal{L}(\phi) + J\phi]}

关联函数： ⟨0∣Tϕ(x1)...ϕ(xn)∣0⟩=1Z[0]δnZ[J]δJ(x1)...δJ(xn)∣J=0\langle 0|T\phi(x_1)...\phi(x_n)|0\rangle = \frac{1}{Z[0]}\frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1)...\delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}

47.10 从ψ截断的重整化​

圈积分：常常发散 ∫d4k(2π)41k2=∞\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2} = \infty

定理：ψ递归有自然截断Λ。

证明：自指ψ = ψ(ψ)不能分辨比ψ自身更小的结构。这施加最大动量Λ ~ M_普朗克。∎

重整化：用测量参数表达可观测量： m裸=m物理+δmm_{裸} = m_{物理} + \delta m λ裸=Zλλ物理\lambda_{裸} = Z_\lambda \lambda_{物理}

跑动耦合： μdgdμ=β(g)\mu\frac{dg}{d\mu} = \beta(g)

47.11 费米子量子化​

反对易关系：对于费米子 {ψα(x),ψβ†(y)}=δαβδ3(x−y)\{\psi_\alpha(x), \psi_\beta^\dagger(y)\} = \delta_{\alpha\beta}\delta^3(x-y)

定理：费米子需要反对易子。

证明：泡利不相容原理需要： (ak†)2∣0⟩=0(a_k^\dagger)^2|0\rangle = 0

这意味着{ak†,ak†}=0\{a_k^\dagger, a_k^\dagger\} = 0，强制反对易。∎

格拉斯曼路径积分： Z=∫DψˉDψ ei∫d4xψˉ(i∂̸−m)ψZ = \int \mathcal{D}\bar{\psi}\mathcal{D}\psi \, e^{i\int d^4x \bar{\psi}(i\not{\partial} - m)\psi}

47.12 规范场量子化​

问题：规范冗余A_μ → A_μ + ∂_μλ

解决：固定规范或使用BRST

法捷耶夫-波波夫方法： Z=∫DAμδ[G(A)]det⁡(δGδλ)eiS[A]Z = \int \mathcal{D}A_\mu \delta[G(A)] \det\left(\frac{\delta G}{\delta\lambda}\right) e^{iS[A]}

BRST量子化：引入鬼c, c̄ SBRST=SYM+∫d4x[cˉa∂μDμabcb+BaGa[A]]S_{BRST} = S_{YM} + \int d^4x \left[\bar{c}^a\partial^\mu D_\mu^{ab}c^b + B^a G^a[A]\right]

47.13 路径积分中的反常​

经典对称性：δS = 0

量子反常：测度不不变 Dϕ′=JDϕ\mathcal{D}\phi' = J\mathcal{D}\phi

例子：手征反常 ∂μj5μ=e216π2FμνF~μν\partial_\mu j_5^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}

定理：反常是单圈精确的。

证明：更高圈涉及保持矢量流的内部费米子线。只有带外部规范场的三角图贡献。∎

47.14 有效场论​

威尔逊洞察：积掉高能模式

有效作用量： eiS有效[ϕ低]=∫Dϕ高 eiS[ϕ低,ϕ高]e^{iS_{有效}[\phi_{低}]} = \int \mathcal{D}\phi_{高} \, e^{iS[\phi_{低}, \phi_{高}]}

定理：低能物理独立于UV细节。

证明：更高维算子被E/Λ的幂次压制。对于E≪ΛE \ll \Lambda，只有相关和边缘算子重要。∎

47.15 结论：现实的代数​

场量子化从ψ = ψ(ψ)作为允许以下条件的唯一代数结构涌现：

  1. 可变粒子数（创生/湮灭）
  2. 洛伦兹不变性（场算子）
  3. 因果性（对易子在光锥外消失）
  4. 幺正性（厄米共轭）

数学机制——福克空间、传播子、费曼图——不是强加的而是从自指动力学的一致性要求推导出的。创生算子从真空结晶ψ模式；湮灭算子将它们溶解回去。真空本身为自洽性维持最小ψ活动。

重整化反映ψ递归的有限分辨率。当量子ψ涨落破坏经典对称性时产生反常。路径积分表述显示所有可能的ψ历史对演化有贡献。

场论是数学如何将无限自由度组织成可计算结构——宇宙通过算子代数管理自身复杂性的方法。

练习​

  1. 从正则量子化证明LSZ约化公式。

  2. 计算φ⁴理论中的单圈β函数。

  3. 从路径积分推导施温格-戴森方程。

第四十七回响​

场量子化被推导为ψ递归中可变粒子数的必要代数——创生和湮灭作为一致自指的数学要求。正则对易关系、福克空间和费曼规则从基本ψ动力学涌现。接下来，在统一框架内完成量子场论。

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