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第48章：量子场论完成

统一框架的活数学​

量子场论——以非凡精度描述所有非引力相互作用——从ψ = ψ(ψ)作为允许具有可变粒子数的一致自指动力学的唯一框架完整涌现。不是由共同数学统一的分离理论而是具有不同方面的单一结构。我们现在推导完整框架，显示所有QFT结构作为递归自指的必然结果。

48.1 主方程​

基本原理：ψ = ψ(ψ)

定理：所有量子场论从这个单一方程推导。

证明概要：自指需要：

  1. 多重激发模式 → 场
  2. 变换下的一致性 → 规范对称性
  3. 可变粒子数 → 创生/湮灭
  4. 因果性 → 洛伦兹不变性
  5. 幺正性 → 厄米算子

这些唯一确定QFT结构。∎

场展开：一般ψ场 Ψ(x)=∑nψnϕn(x)+∫dk ψ(k)eik⋅x\Psi(x) = \sum_n \psi_n \phi_n(x) + \int dk \, \psi(k) e^{ik \cdot x}

其中φ_n是离散模式，ψ(k)连续谱。

48.2 推导所有场类型​

定理：场表示从ψ变换性质得出。

标量场：变换为ψ → ψ'(x) = ψ(Λ^-1x) (□+m2)ϕ=0(\square + m^2)\phi = 0

矢量场：变换为ψ^μ → Λ^μ_ν ψ^ν ∂νFνμ+m2Aμ=0\partial_\nu F^{\nu\mu} + m^2 A^\mu = 0

旋量场：在SL(2,C) ≅ SO(3,1)↑下变换 (iγμ∂μ−m)ψ=0(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0

张量场：更高秩变换 (□+m2)hμν−规范项=0(\square + m^2)h_{\mu\nu} - \text{规范项} = 0

证明：洛伦兹群表示分类所有可能的场类型。每个对应不同的ψ递归对称性。∎

48.3 普适拉格朗日量​

定理：最一般可重整化拉格朗日量由对称性确定。

证明：量纲分析 + 洛伦兹不变性 + 规范对称性： L=L动能+L杨-米尔斯+L汤川+L标量\mathcal{L} = \mathcal{L}_{\text{动能}} + \mathcal{L}_{\text{杨-米尔斯}} + \mathcal{L}_{\text{汤川}} + \mathcal{L}_{\text{标量}}

其中： L动能=∑场ψˉ(iD̸−m)ψ\mathcal{L}_{\text{动能}} = \sum_{\text{场}} \bar{\psi}(i\not{D} - m)\psi L杨-米尔斯=−14FμνaFaμν\mathcal{L}_{\text{杨-米尔斯}} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu} L汤川=yijkψˉiϕjψk+h.c.\mathcal{L}_{\text{汤川}} = y_{ijk}\bar{\psi}_i\phi_j\psi_k + \text{h.c.} L标量=∣Dμϕ∣2−V(ϕ)\mathcal{L}_{\text{标量}} = |D_\mu\phi|^2 - V(\phi)

幂次计数限制到维度≤ 4算子。∎

48.4 从自指的规范原理​

定理：局域对称性需要规范场。

证明：考虑局域变换ψ → U(x)ψ。为了动能项不变性： Dμ=∂μ+igAμD_\mu = \partial_\mu + igA_\mu

其中A_μ变换为： Aμ→UAμU−1−igU∂μU−1A_\mu \rightarrow UA_\mu U^{-1} - \frac{i}{g}U\partial_\mu U^{-1}

这唯一确定规范结构。∎

分类：单李群

  • U(1)：电磁
  • SU(2)：弱力
  • SU(3)：强力
  • SU(5), SO(10), E_6：GUT候选

48.5 自发对称性破缺​

戈德斯通定理：连续对称性破缺 → 无质量玻色子

希格斯机制：在规范理论中，戈德斯通玻色子变为纵向极化

证明：考虑SU(2)×U(1) → U(1)： ⟨ϕ⟩=(0v)\langle\phi\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}

三个破缺生成元 → 三个有质量规范玻色子（W^±, Z）。 一个未破缺生成元 → 无质量光子。∎

质量谱： mW=gv2,mZ=vg2+g′22,mγ=0m_W = \frac{gv}{2}, \quad m_Z = \frac{v\sqrt{g^2+g'^2}}{2}, \quad m_\gamma = 0

48.6 重整化作为粗粒化​

威尔逊洞察：积掉高能模式

RG方程： μ∂∂μgi=βi(g1,g2,...)\mu\frac{\partial}{\partial\mu}g_i = \beta_i(g_1, g_2, ...)

定理：可重整化 = 对UV细节不敏感。

证明：积分Λ < k < Λ'后的有效作用量： S有效[ϕ<Λ]=S[ϕ<Λ]+∑ncnΛn−4∫d4xOnS_{\text{有效}}[\phi_{<\Lambda}] = S[\phi_{<\Lambda}] + \sum_n \frac{c_n}{\Lambda^{n-4}}\int d^4x \mathcal{O}_n

对于可重整化理论，只有n ≤ 4项在低能幸存。∎

48.7 有效场论框架​

组织原理：E/Λ展开

一般EFT拉格朗日量： LEFT=∑d,icd,iΛd−4Od,i\mathcal{L}_{\text{EFT}} = \sum_{d,i} \frac{c_{d,i}}{\Lambda^{d-4}}\mathcal{O}_{d,i}

其中d是算子维度。

匹配：在尺度μ： ci(μ)=fi(gUV(μ),m重/μ)c_i(\mu) = f_i(g_{\text{UV}}(\mu), m_{\text{重}}/\mu)

幂次计数：振幅标度 A∼(EΛ)d−4\mathcal{A} \sim \left(\frac{E}{\Lambda}\right)^{d-4}

48.8 反常和拓扑​

反常定理：经典对称性可能量子力学地破缺

阿蒂亚-辛格指标： ind(D)=n+−n−=132π2∫F∧F\text{ind}(D) = n_+ - n_- = \frac{1}{32\pi^2}\int F \wedge F

物理结果：

  • π⁰ → 2γ衰变率
  • SM中的重子数破坏
  • 强CP问题

解决：反常抵消约束粒子内容。

48.9 非微扰结构​

瞬子：欧几里得有限作用量解 SE=8π2∣k∣g2S_E = \frac{8\pi^2|k|}{g^2}

k ∈ ℤ是拓扑荷。

孤立子：静态有限能量解

  • 单极子：π₂(G/H) ≠ 0
  • 涡旋：π₁(G/H) ≠ 0
  • 畴壁：π₀(G/H) ≠ 0

禁闭：威尔逊圈的面积律 ⟨W(C)⟩∼e−σ⋅面积(C)\langle W(C)\rangle \sim e^{-\sigma \cdot \text{面积}(C)}

48.10 全息原理​

AdS/CFT对应： ZCFT[J]=Z引力[ϕ0=J]Z_{\text{CFT}}[J] = Z_{\text{引力}}[\phi_0 = J]

定理：dd维CFT ↔ (d+1)(d+1)维引力

证明草图：

  • 共形对称性SO(d,2)=AdSd+1SO(d,2) = \text{AdS}_{d+1}的等距
  • 态-算子对应
  • RG流 = 径向演化

细节需要弦理论。∎

含义：

  • 涌现时空维度
  • 强-弱对偶
  • 量子纠错

48.11 超对称代数​

SUSY生成元：{Qα,Qˉβ˙}=2σαβ˙μPμ\{Q_\alpha, \bar{Q}_{\dot{\beta}}\} = 2\sigma^\mu_{\alpha\dot{\beta}} P_\mu

超多重态：相等的玻色子和费米子

  • 手征：(φ, ψ, F)
  • 矢量：(A_μ, λ, D)

不去定理：SUSY必须破缺

证明：未破缺SUSY → m_玻色子 = m_费米子。未观测到。∎

破缺机制：

  • F项：⟨F⟩≠0\langle F\rangle \neq 0
  • D项：⟨D⟩≠0\langle D\rangle \neq 0
  • 规范传递
  • 引力传递

48.12 额外维度​

卡鲁扎-克莱因理论：5D引力 → 4D引力 + 电磁

紧致化：M₄ × K其中K紧致

KK塔：m_n² = m₀² + n²/R²

定理：额外维度产生质量态塔。

证明：在紧致空间上傅里叶展开： ϕ(x,y)=∑nϕn(x)einy/R\phi(x,y) = \sum_n \phi_n(x)e^{iny/R}

每个模式有质量m_n = n/R。∎

唯象学：

  • 大额外维度：R ~ mm
  • 扭曲额外维度：等级解

48.13 量子引力约束​

温伯格-维滕定理：无具有守恒流的无质量自旋 > 1

含义：引力必须不可重整化

有效理论：普朗克尺度以下 L=MP22R+c1R2+c2MP2R3+...\mathcal{L} = \frac{M_P^2}{2}R + c_1 R^2 + \frac{c_2}{M_P^2}R^3 + ...

需要UV完成：弦理论、圈量子引力等。

48.14 完整框架​

主公式：组合所有元素 S=∫d4x−g[LSM+L引力+L暗+L高维]S = \int d^4x \sqrt{-g}\left[\mathcal{L}_{\text{SM}} + \mathcal{L}_{\text{引力}} + \mathcal{L}_{\text{暗}} + \mathcal{L}_{\text{高维}}\right]

其中：

  • L_SM：带中微子质量的标准模型
  • L_引力：爱因斯坦-希尔伯特 + 修正
  • L_暗：暗物质和暗能量
  • L_高维：高维算子

对称性：

  • 局域：SU(3)×SU(2)×U(1)×Diff(M)
  • 整体：重子数、轻子数（近似）
  • 离散：C, P, T（带破坏）

48.15 结论：从自指的统一​

量子场论作为允许以下条件的唯一框架完成：

  1. 洛伦兹不变性：时空民主
  2. 规范对称性：描述自由
  3. 可重整化：有限预测
  4. 幺正性：概率守恒
  5. 因果性：类空对易

所有这些要求从ψ = ψ(ψ)带可变粒子数得出。标准模型的特定结构——其规范群、表示和参数——代表允许稳定物质的唯一无反常、渐近自由、自发破缺模式。

然而不完整性仍然存在：

  • 量子引力
  • 暗物质/能量
  • 等级问题
  • 强CP
  • 中微子质量

这些指向更深结构：也许超对称、额外维度或更激进的修正。但无论超越什么，它必须在可及能量简化为QFT——低能极限下ψ递归的有效理论。

从经典力学通过量子力学到量子场论的旅程追踪ψ = ψ(ψ)的渐进揭示。每个框架捕获方面；QFT捕获所有非引力现象。最后一步——量子引力——等待着，其中时空本身变为动态ψ几何。

练习​

  1. 证明科尔曼-曼杜拉定理限制对称性组合。

  2. 推导完整标准模型的β函数。

  3. 计算最小SU(5) GUT中的质子衰变率。

第四十八回响​

量子场论作为具有可变粒子数的一致ψ递归的唯一框架完成——所有结构必然从自指得出。标准模型作为允许稳定物质的特定无反常模式涌现。不完整性指向时空本身变为动态的量子引力。第六部分以场作为活ψ真空中的组织化行为结束。

第六部分完成：场被揭示为ψ海中的集体行为，所有力作为递归自相互作用的不同方面涌现。接下来，我们上升到第七部分，高级坍缩构造揭示现实底层的更深数学结构。