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第二十七章：张量 — 几何物理的语言

时空的语法​

张量提供了在弯曲时空中描述物理的数学语言——在坐标变换下可预测地变换的对象，同时编码内在的几何和物理性质。本章揭示张量不是抽象的指标，而是在坍缩创造几何和物质的宇宙中表达关系的自然方式。

27.1 矢量和余矢量​

定理 27.1（切空间和余切空间）： 在每点p，存在两个基本矢量空间。

切空间 TpMT_pM：

  • 矢量：V=Vμ∂∂xμV = V^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu}
  • 沿曲线的方向导数
  • 粒子的速度矢量

余切空间 Tp∗MT_p^*M：

  • 余矢量（1-形式）：ω=ωμdxμ\omega = \omega_\mu dx^\mu
  • 线性映射TpM→RT_pM \to \mathbb{R}
  • 标量函数的梯度

自然配对： ⟨ω,V⟩=ωμVμ\langle\omega, V\rangle = \omega_\mu V^\mu

矢量指向，余矢量测量！

27.2 张量定义​

定理 27.2（多重线性映射）： (p,q)型张量是多重线性映射： T:Tp∗M×⋯×Tp∗M⏟p 次×TpM×⋯×TpM⏟q 次→RT: \underbrace{T_p^*M \times \cdots \times T_p^*M}_{p \text{ 次}} \times \underbrace{T_pM \times \cdots \times T_pM}_{q \text{ 次}} \to \mathbb{R}

分量： Tμ1...μpν1...νqμ1...μp=T(ωμ1,...,ωμp,eν1,...,eνq)T^{\mu_1...\mu_p}_{\phantom{\mu_1...\mu_p}\nu_1...\nu_q} = T(\omega_{\mu_1},...,\omega_{\mu_p}, e^{\nu_1},...,e^{\nu_q})

变换律： Tα1...αpβ1...βq′α1...αp=∂x′α1∂xμ1⋯∂x′αp∂xμp∂xν1∂x′β1⋯∂xνq∂x′βqTμ1...μpν1...νqμ1...μpT'^{\alpha_1...\alpha_p}_{\phantom{\alpha_1...\alpha_p}\beta_1...\beta_q} = \frac{\partial x'^{\alpha_1}}{\partial x^{\mu_1}} \cdots \frac{\partial x'^{\alpha_p}}{\partial x^{\mu_p}} \frac{\partial x^{\nu_1}}{\partial x'^{\beta_1}} \cdots \frac{\partial x^{\nu_q}}{\partial x'^{\beta_q}} T^{\mu_1...\mu_p}_{\phantom{\mu_1...\mu_p}\nu_1...\nu_q}

张量编码几何关系！

27.3 度规作为基本张量​

定理 27.3（度规性质）： 度规张量gμνg_{\mu\nu}提供：

  1. 内积：⟨V,W⟩=gμνVμWν\langle V,W \rangle = g_{\mu\nu}V^\mu W^\nu
  2. 长度：∣V∣2=gμνVμVν|V|^2 = g_{\mu\nu}V^\mu V^\nu
  3. 角度：cos⁡θ=gμνVμWν∣V∣∣W∣\cos\theta = \frac{g_{\mu\nu}V^\mu W^\nu}{|V||W|}
  4. 体积：∣g∣d4x\sqrt{|g|}d^4x

升降指标： Vμ=gμνVν,Vμ=gμνVνV_\mu = g_{\mu\nu}V^\nu, \quad V^\mu = g^{\mu\nu}V_\nu

度规连接上下世界！

27.4 协变导数​

定理 27.4（平行移动）： 协变导数∇\nabla将普通导数扩展到弯曲空间。

对矢量： ∇μVν=∂μVν+ΓμλνVλ\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^\nu_{\mu\lambda}V^\lambda

对余矢量： ∇μVν=∂μVν−ΓμνλVλ\nabla_\mu V_\nu = \partial_\mu V_\nu - \Gamma^\lambda_{\mu\nu}V_\lambda

对一般张量： ∇σTμνρμν=∂σTμνρμν+ΓσλμTλνρλν+ΓσλνTμλρμλ−ΓσρλTμνλμν\nabla_\sigma T^{\mu\nu}_{\phantom{\mu\nu}\rho} = \partial_\sigma T^{\mu\nu}_{\phantom{\mu\nu}\rho} + \Gamma^\mu_{\sigma\lambda}T^{\lambda\nu}_{\phantom{\lambda\nu}\rho} + \Gamma^\nu_{\sigma\lambda}T^{\mu\lambda}_{\phantom{\mu\lambda}\rho} - \Gamma^\lambda_{\sigma\rho}T^{\mu\nu}_{\phantom{\mu\nu}\lambda}

上指标加，下指标减！

27.5 从对易子到曲率​

定理 27.5（从非对易性到黎曼）： [∇μ,∇ν]Vρ=RρσμνρVσ[\nabla_\mu, \nabla_\nu]V^\rho = R^\rho_{\phantom{\rho}\sigma\mu\nu}V^\sigma

证明： ∇μ∇νVρ−∇ν∇μVρ=(∂μΓνσρ−∂νΓμσρ+ΓμλρΓνσλ−ΓνλρΓμσλ)Vσ\nabla_\mu\nabla_\nu V^\rho - \nabla_\nu\nabla_\mu V^\rho = (\partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma})V^\sigma

括号测量导数对易的失败——这就是曲率！

27.6 李导数​

定理 27.6（流生成的变化）： 李导数测量张量沿矢量场流的变化。

对函数：LVf=Vμ∂μf\mathcal{L}_V f = V^\mu\partial_\mu f

对矢量：LVWμ=Vν∂νWμ−Wν∂νVμ\mathcal{L}_V W^\mu = V^\nu\partial_\nu W^\mu - W^\nu\partial_\nu V^\mu

一般公式： (LVT)μ1...μpν1...νqμ1...μp=Vλ∇λTμ1...μpν1...νqμ1...μp+∑iTμ1...λ...μpν1...νqμ1...λ...μp∇λVμi−∑jTμ1...μpν1...λ...νqμ1...μp∇νjVλ(\mathcal{L}_V T)^{\mu_1...\mu_p}_{\phantom{\mu_1...\mu_p}\nu_1...\nu_q} = V^\lambda\nabla_\lambda T^{\mu_1...\mu_p}_{\phantom{\mu_1...\mu_p}\nu_1...\nu_q} + \sum_i T^{\mu_1...\lambda...\mu_p}_{\phantom{\mu_1...\lambda...\mu_p}\nu_1...\nu_q}\nabla_\lambda V^{\mu_i} - \sum_j T^{\mu_1...\mu_p}_{\phantom{\mu_1...\mu_p}\nu_1...\lambda...\nu_q}\nabla_{\nu_j} V^\lambda

李导数 = 沿流拖拽！

27.7 微分形式​

定理 27.7（反对称张量）： p-形式是完全反对称的(0,p)张量。

楔积： (α∧β)μ1...μp+q=(p+q)!p!q!α[μ1...μpβμp+1...μp+q](\alpha \wedge \beta)_{\mu_1...\mu_{p+q}} = \frac{(p+q)!}{p!q!}\alpha_{[\mu_1...\mu_p}\beta_{\mu_{p+1}...\mu_{p+q}]}

外导数： (dω)μ0...μp=(p+1)∂[μ0ωμ1...μp](\mathrm{d}\omega)_{\mu_0...\mu_p} = (p+1)\partial_{[\mu_0}\omega_{\mu_1...\mu_p]}

关键性质：d2=0\mathrm{d}^2 = 0（恰当形式是闭的）

形式捕获定向量！

27.8 流形上的积分​

定理 27.8（广义斯托克斯）： ∫Mdω=∫∂Mω\int_M \mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega

特殊情况：

  • 基本定理：∫abdf=f(b)−f(a)\int_a^b df = f(b) - f(a)
  • 格林定理：∮CF⃗⋅dr⃗=∫S(∇×F⃗)⋅dA⃗\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_S (\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{A}
  • 散度定理：∫V∇⋅F⃗dV=∮SF⃗⋅dA⃗\int_V \nabla\cdot\vec{F} dV = \oint_S \vec{F}\cdot d\vec{A}

边界决定体积分！

27.9 基灵矢量​

定理 27.9（对称性）： 基灵矢量生成等距：Lξgμν=0\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu} = 0

基灵方程： ∇μξν+∇νξμ=0\nabla_\mu\xi_\nu + \nabla_\nu\xi_\mu = 0

守恒律： 如果ξ\xi是基灵矢量，则沿测地线： ξμdxμdτ=常数\xi_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = \text{常数}

对称性 → 守恒量！

27.10 旋量场​

定理 27.10（半整数表示）： 旋量在SL(2,C)SL(2,\mathbb{C})下变换，洛伦兹群的二重覆盖。

弯曲空间中的狄拉克方程： (γμ∇μ+m)ψ=0(\gamma^\mu\nabla_\mu + m)\psi = 0

其中γμ\gamma^\mu是弯曲空间伽马矩阵： {γμ,γν}=2gμν\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}

旋量看到时空的二重覆盖！

27.11 能量-动量张量​

定理 27.11（物质分布）： TμνT^{\mu\nu}编码能量、动量和应力。

完美流体： Tμν=(ρ+p)uμuν+pgμνT^{\mu\nu} = (\rho + p)u^\mu u^\nu + pg^{\mu\nu}

电磁场： Tμν=14π(FμλFνλν−14gμνFρσFρσ)T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\left(F^{\mu\lambda}F^\nu_{\phantom{\nu}\lambda} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}\right)

守恒：∇μTμν=0\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0

物质根据几何流动！

27.12 第二十七回响：张量交响曲​

张量揭示自己是弯曲宇宙的自然语言——尊重坐标系民主的数学对象，同时编码绝对的物理真理。它们不仅仅是数字数组，而是通过所有变换持续存在的结构化关系。

在张量形式中，我们看到几何和物理的深刻统一。度规张量弯曲空间，黎曼张量测量该曲率，能量-动量张量源于它，协变导数确保一切一致地变换。这不是抽象数学，而是宇宙书写自己故事的语法——坍缩模式流过弯曲流形，创造我们观察到的一切的故事。

张量探索​

  1. 使用协变导数证明比安基恒等式。

  2. 在各种坐标系中计算克里斯托费尔符号。

  3. 验证黎曼张量的变换律。

下一个井​

掌握了张量语言后，我们现在应用它来理解引力本身——不是作为力，而是由能量密度引起的时空曲率。

下一章：第二十八章：引力 — 宇宙的密度井 →

"张量是宇宙如何在所有可能的视角中跟踪其关系的方式。"