跳到主要内容

第二十八章：引力 — 坍缩的曲率

普遍吸引​

引力不是穿越空间的力，而是时空本身的曲率——现实围绕集中坍缩模式弯曲的方式。本章揭示引力作为ψ = ψ(ψ)最基本的表现，展示质量和能量如何在坍缩场中创造引导所有运动的井。

28.1 从牛顿到爱因斯坦​

定理 28.1（等效原理）： 引力质量和惯性质量相同，因为两者都测量坍缩密度。

关键洞察：

  • 自由落体 = 跟随坍缩梯度
  • 没有局部实验能检测均匀引力
  • 引力 = 几何，不是力

思想实验： 在下落的电梯中，物理看起来无重力。为什么？因为你在随坍缩流移动，而不是对抗它！

引力是民主——所有物体下落相同！

28.2 测地线作为自然路径​

定理 28.2（极值老化）： 自由粒子在事件间最大化固有时。

作用原理： S=−mc∫dτ=−mc∫−gμνdxμdxνS = -mc\int d\tau = -mc\int\sqrt{-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}

变分给出测地线方程： d2xμdτ2+Γνλμdxνdτdxλdτ=0\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\lambda}\frac{dx^\nu}{d\tau}\frac{dx^\lambda}{d\tau} = 0

ψ-解释： 粒子通过坍缩景观遵循最小阻力路径——就像水流过弯曲地形向下流动。

最大老化 = 最小坍缩阻力！

28.3 牛顿极限​

定理 28.3（弱场近似）： 对弱引力中的慢运动： g00≈−(1+2Φ/c2)g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)

其中Φ是牛顿势。

测地线方程简化为： d2xidt2≈−∂Φ∂xi\frac{d^2x^i}{dt^2} \approx -\frac{\partial\Phi}{\partial x^i}

恢复牛顿： ∇2Φ=4πGρ\nabla^2\Phi = 4\pi G\rho

爱因斯坦包含牛顿作为慢速极限！

28.4 引力时间膨胀​

定理 28.4（引力红移）： 时钟在更深的引力井中运行更慢。

时间膨胀因子： dτdt=−g00=1+2Φ/c2\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{-g_{00}} = \sqrt{1 + 2\Phi/c^2}

对地球表面： Δtt≈ghc2≈10−16 每米\frac{\Delta t}{t} \approx \frac{gh}{c^2} \approx 10^{-16} \text{ 每米}

GPS修正： 卫星比地球时钟快~45 μs/天！

坍缩井越深 = 时间流越慢！

28.5 史瓦西时空​

定理 28.5（球对称质量解）： 球形质量M外部： ds2=−(1−rsr)c2dt2+dr21−rs/r+r2(dθ2+sin⁡2θdϕ2)ds^2 = -\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2dt^2 + \frac{dr^2}{1-r_s/r} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)

其中rs=2GM/c2r_s = 2GM/c^2 = 史瓦西半径。

关键特征：

  1. 事件视界：r=rsr = r_s（不是奇点！）
  2. 奇点：r=0r = 0（真正发散）
  3. 渐近平坦：r→∞r \to \infty时闵氏

对太阳：rs=3r_s = 3 km 对地球：rs=9r_s = 9 mm

质量压缩空间本身！

28.6 黑洞​

定理 28.6（视界作为不归点）： 在r=rsr = r_s，逃逸速度等于光速。

视界内部：

  • 径向坐标变成类时
  • 未来只指向内
  • 奇点不可避免

彭罗斯图： 显示因果结构——视界内，所有未来终于奇点！

ψ-解释： 黑洞 = 坍缩变得自我强化和不可逆的区域。宇宙在自己内部创造无限井。

有限时间内的无限坍缩！

28.7 引力波​

定理 28.7（时空涟漪）： 加速质量创造传播的度规扰动。

波动方程（线性化）： □hμν=−16πGc4Tμν\Box h_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

四极辐射： hij∼Gc4rQ¨ijh_{ij} \sim \frac{G}{c^4r}\ddot{Q}_{ij}

能量通量： dEdt=G5c5Q...ijQ...ij\frac{dE}{dt} = \frac{G}{5c^5}\dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}^{ij}

LIGO探测： 来自并合黑洞的应变h∼10−21h \sim 10^{-21}！

时空本身振动！

28.8 宇宙学解​

定理 28.8（膨胀宇宙）： 均匀、各向同性宇宙必须膨胀或收缩。

弗里德曼方程： H2=(a˙a)2=8πG3ρ−kc2a2+Λc23H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}

临界密度： ρc=3H28πG≈10−29 g/cm3\rho_c = \frac{3H^2}{8\pi G} \approx 10^{-29} \text{ g/cm}^3

暗能量： Λ > 0驱动加速膨胀！

宇宙有自己的反引力！

28.9 参考系拖拽​

定理 28.9（引力磁性）： 旋转质量拖拽时空。

兰斯-蒂林效应： Ω⃗=2Gc2r3(3(J⃗⋅r^)r^−J⃗)\vec{\Omega} = \frac{2G}{c^2r^3}(3(\vec{J}\cdot\hat{r})\hat{r} - \vec{J})

后果：

  • 陀螺进动
  • 轨道平面旋转
  • 由引力探测器B验证

旋转创造时空涡旋！

28.10 量子引力暗示​

定理 28.10（半经典引力）： Rμν−12gμνR=8πG⟨T^μν⟩R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi G\langle\hat{T}_{\mu\nu}\rangle

普朗克尺度的问题：

  • 几何变得不确定
  • 因果性涨落
  • 需要完整量子引力

霍金辐射： T=ℏc38πGMkBT = \frac{\hbar c^3}{8\pi GMk_B}

黑洞量子力学地蒸发！

28.11 涌现引力​

定理 28.11（热力学起源）： 引力可能从熵最大化涌现。

维林德提议： F=TΔSΔxF = T\frac{\Delta S}{\Delta x}

给出牛顿定律： F=GMmr2F = \frac{GMm}{r^2}

ψ-联系： 引力作为寻求最大熵配置的坍缩——宇宙为最优自知组织自己。

从信息到引力！

28.12 第二十八回响：民主力量​

引力揭示自己作为ψ = ψ(ψ)最纯粹的表达——存在围绕自己密度弯曲的方式。不像区分粒子的其他力，引力普遍作用，平等对待所有质能。这种民主产生是因为引力就是几何，不是通过几何传递的力。

从下落的苹果到轨道行星，从GPS卫星到黑洞并合，引力塑造宇宙架构。它减慢时间，弯曲光线，在极端情况下，在时空本身撕开洞。然而所有这些现象都源于单一原理：宇宙弯曲以容纳自己的坍缩模式。

引力探索​

  1. 计算史瓦西几何中的轨道进动。

  2. 从双星系统推导引力波应变。

  3. 找到黑洞周围的光子球半径。

下一个参考系​

理解引力作为弯曲时空后，我们现在探索这种曲率对不同观察者的样子——运动、时间和空间本身的相对性。

下一章：第二十九章：相对论 — 每个观察者的真理 →

"引力是宇宙将自己聚集在一起的方式。"