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第二十九章：相对论 — 每个观察者的真理

ψ的众多眼睛​

现实没有单一视角——它同时从每个可能的角度观察自己。本章从ψ = ψ(ψ)推导出特殊和广义相对论作为必然结果，展示时间膨胀、长度收缩和弯曲时空的看似悖论如何从意识从多个参考系体验自己的坍缩模式而产生。

29.1 观察者作为坍缩视角​

定义 29.1（观察者参考系）： 观察者O代表由以下特征描述的特定坍缩流： O={v⃗O,ΣO,τO}\mathcal{O} = \{\vec{v}_O, \Sigma_O, \tau_O\}

其中：

  • v⃗O\vec{v}_O = 坍缩速度矢量
  • ΣO\Sigma_O = 同时性表面（恒定坍缩相位）
  • τO\tau_O = 沿世界线的固有时

定理 29.1（多重有效视角）： 每个观察者测量有效物理，因为每个都代表ψ观察自己。

证明： 从ψ = ψ(ψ)，自我观察没有特权视角。每个视角ψ[O]满足： ψ[O]=ψ[O](ψ[O])\psi[O] = \psi[O](\psi[O])

自洽性对所有O成立。∎

每只眼睛看到真实，虽然不同！

29.2 推导洛伦兹变换​

定理 29.2（坍缩视角变换）： 由速度v相关的观察者具有以下坐标关系： (ct′x′)=(γ−γβ−γβγ)(ctx)\begin{pmatrix} ct' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta \\ -\gamma\beta & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}

其中β=v/c\beta = v/c且γ=1/1−β2\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}。

从第一性原理推导：

  1. 坍缩以普遍速率c传播（来自ψ场方程）
  2. 无优选参考系（来自自引用对称性）
  3. 线性（来自叠加原理）
  4. 各向同性（来自旋转不变性）

这些约束唯一确定洛伦兹群SO(1,3)。∎

矩阵形式：

\gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 改变眼睛时时空旋转！ ## 29.3 同时性作为坍缩表面 **定理 29.3**（同时性的相对性）： 在S系中同时的事件在S'系中不同时： $$\Delta t' = -\gamma\frac{v\Delta x}{c^2}$$ *几何证明*： S中的同时性表面：t = 常数 在S'中这变成： $$t = \gamma(t' + vx'/c^2)$$ 不同观察者以不同角度切割时空！∎ *ψ-解释*： "同时"意味着"相同坍缩相位"。运动的观察者有倾斜的相位表面——对一个人共享相位的东西对另一个人跨越多个相位。 不存在普遍的"现在"！ ## 29.4 投影的长度收缩 **定理 29.4**（洛伦兹收缩）： 固有长度L₀的杆看起来收缩： $$L = L_0/\gamma = L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$$ *推导*： 长度 = 固定时间的空间范围 对于运动的杆，端点测量于： - $x_1' = \gamma(x_1 - vt)$ - $x_2' = \gamma(x_2 - vt)$ 长度：$L' = x_2' - x_1' = \gamma(x_2 - x_1)$ 但v = 0时的固有长度：$L_0 = x_2 - x_1$ 因此：$L = L_0/\gamma$ ∎ 运动创造时空阴影！ ## 29.5 路径长度的时间膨胀 **定理 29.5**（时间膨胀）： 运动时钟慢γ倍： $$\Delta\tau = \Delta t/\gamma$$ *时空路径积分*： 沿世界线的固有时： $$\tau = \int\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}d\lambda$$ 对于恒定速度： $$d\tau = dt\sqrt{1-v^2/c^2}$$ 积分给出膨胀因子。∎ *双生子悖论解决*： 加速的双生子通过时空走更短路径——老化更少！ 我们沿着世界线老化！ ## 29.6 不变间隔 **定理 29.6**（时空距离）： 间隔在洛伦兹变换下不变： $$ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = ds'^2$$ *直接验证*： $$ds'^2 = -c^2(\gamma dt - \gamma\beta dx/c)^2 + (\gamma dx - \gamma\beta c dt)^2 + dy^2 + dz^2$$ 展开并简化： $$ds'^2 = -c^2dt^2(1-\beta^2)\gamma^2 + dx^2(1-\beta^2)\gamma^2 + dy^2 + dz^2$$ 由于$(1-\beta^2)\gamma^2 = 1$，我们得到$ds'^2 = ds^2$。∎ 真实距离超越坐标！ ## 29.7 四矢量形式主义 **定义 29.2**（逆变四矢量）： 四矢量$A^\mu$变换为： $$A'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu}A^\nu$$ *例子*： - 位置：$x^\mu = (ct, x, y, z)$ - 速度：$u^\mu = \gamma(c, \vec{v})$ - 动量：$p^\mu = mu^\mu = (\gamma mc, \gamma m\vec{v})$ - 电流：$j^\mu = (\rho c, \vec{j})$ **守恒定律**： $$\partial_\mu j^\mu = 0 \quad \text{(电荷守恒)}$$ $$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0 \quad \text{(能量-动量守恒)}$$ 张量方程在所有参考系中成立！ ## 29.8 质能等价 **定理 29.7**（E = mc²）： 能量和质量作为四动量的类时分量统一。 *推导*： 四动量大小不变： $$p_\mu p^\mu = -m^2c^2$$ 展开： $$-\frac{E^2}{c^2} + |\vec{p}|^2 = -m^2c^2$$ 因此： $$E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$$ 对于$\vec{p} = 0$：$E = mc^2$ ∎ 质量是冻结的坍缩能量！ ## 29.9 电磁场张量 **定义 29.3**（场强）： $$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$$ **洛伦兹变换**： $$F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu_{\ \rho}\Lambda^\nu_{\ \sigma}F^{\rho\sigma}$$ *结果*： - $E'_\parallel = E_\parallel$ - $E'_\perp = \gamma(E_\perp + v \times B)$ - $B'_\parallel = B_\parallel$ - $B'_\perp = \gamma(B_\perp - v \times E/c^2)$ 电和磁统一！ ## 29.10 广义协变原理 **定理 29.8**（广义相对论）： 物理定律必须采用张量形式才能在所有坐标系中成立。 *从ψ = ψ(ψ)*： 自引用没有优选坐标。因此： 1. 用协变导数替换偏导数：$\partial_\mu \to \nabla_\mu$ 2. 使用度规张量升降指标 3. 仅收缩协变与逆变指标 *爱因斯坦场方程*： $$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$ 几何等于能量-动量！ ## 29.11 等效原理 **定理 29.9**（局部等效）： 均匀引力场 ≡ 加速参考系。 *证明*： 在自由落体参考系中，设置坐标使： $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + O(x^2)$$ $$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = 0 + O(x)$$ 一阶物理与特殊相对论相同！∎ *结果*： 引力质量 = 惯性质量（自由落体的普遍性） 下落局部擦除引力！ ## 29.12 引力时间膨胀 **定理 29.10**（引力红移）： 时钟速率随引力势变化： $$\frac{d\tau_1}{d\tau_2} = \sqrt{\frac{g_{00}(x_1)}{g_{00}(x_2)}}$$ *对于弱场*： $$g_{00} \approx -(1 + 2\Phi/c^2)$$ 时钟速率比： $$\frac{d\tau_1}{d\tau_2} \approx 1 + \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{c^2}$$ GPS卫星需要这个修正！ ## 29.13 事件视界 **定义 29.4**（视界）： 一个度规分量消失的表面。 *史瓦西例子*： $$g_{00} = -(1 - r_s/r) \to 0 \text{ 在 } r = r_s$$ *性质*： - 坐标奇点（可移除） - 因果边界（单向膜） - 外部观察者的无限时间膨胀 不同观察者对视界穿越意见不同！ ## 29.14 宇宙学观察者 **定理 29.11**（膨胀宇宙）： 共动观察者看到各向同性的哈勃流： $$v = H_0 d$$ *罗伯逊-沃克度规*： $$ds^2 = -c^2dt^2 + a(t)^2\left[\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)\right]$$ *结果*： 过去光锥有有限范围——可观测宇宙有限！ 我们只看到我们的因果泡泡！ ## 29.15 第二十九回响：视角的民主 相对论作为ψ从多个视角观察自己的必然结果而出现。没有"上帝之眼视角"，因为宇宙就是观察的眼睛。每个参考系代表通过坍缩流形的有效切片，每个观察者是永恒自我认识的合法见证人。 从这种视角的民主产生了相对论的所有"悖论"——时间膨胀、长度收缩、质能等价。这些不是怪癖而是必然性，被要求ψ = ψ(ψ)从每个可能的视角保持真实所强制。宇宙通过在参考系之间变换测量来维持其自洽性，确保每个观察者看到有效的物理。 ### 相对论探究 1. 推导自旋粒子的托马斯进动。 2. 计算加速观察者的温鲁温度。 3. 展示贝尔飞船悖论如何说明同时性的相对性。 ### 下一个视角 建立了不同观察者如何不同地看到相同现实后，我们接下来探索最戏剧性的后果——时间本身如何在不同参考系中以不同速率流动。 --- *下一章：[第三十章：时间膨胀 — 现在的多种速率 →](./chapter-30-time-dilation-depth.md)* *"每只看见的眼睛都是宇宙在看自己。"*