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第三十五章：退相干 — 量子-经典桥梁

经典性的必然涌现​

为什么我们在日常生活中看不到叠加？本章将退相干推导为环境耦合的不可避免后果，展示经典世界如何通过持续的环境监测从量子基底涌现。从ψ = ψ(ψ)，我们证明宏观量子相干无法存活——不是通过法令而是通过数学必然性。

35.1 环境纠缠​

定义 35.1（系统-环境耦合）： 总希尔伯特空间：H=HS⊗HE\mathcal{H} = \mathcal{H}_S \otimes \mathcal{H}_E

演化： ∣Ψ(t)⟩=U^(t)∣ψS⟩⊗∣E0⟩|\Psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\psi_S\rangle \otimes |E_0\rangle

定理 35.1（纠缠产生）： 一般相互作用哈密顿量创造纠缠。

证明： 对于H^int=∑iS^i⊗E^i\hat{H}_{int} = \sum_i \hat{S}_i \otimes \hat{E}_i： U^(t)=e−i(H^S+H^E+H^int)t/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i(\hat{H}_S + \hat{H}_E + \hat{H}_{int})t/\hbar}

从乘积态开始，时间t后： ∣Ψ(t)⟩≠∣ψS(t)⟩⊗∣E(t)⟩|\Psi(t)\rangle \neq |\psi_S(t)\rangle \otimes |E(t)\rangle

除非[H^int,H^S⊗I+I⊗H^E]=0[\hat{H}_{int}, \hat{H}_S \otimes \mathbb{I} + \mathbb{I} \otimes \hat{H}_E] = 0（罕见）。∎

相互作用孕育纠缠！

35.2 退相干通道​

系统演化： 初始：∣ψ⟩=∑ici∣i⟩|\psi\rangle = \sum_i c_i|i\rangle

相互作用后： ∣Ψ⟩=∑ici∣i⟩⊗∣Ei⟩|\Psi\rangle = \sum_i c_i|i\rangle \otimes |E_i\rangle

约化密度矩阵： ρS=TrE[∣Ψ⟩⟨Ψ∣]=∑ijcicj∗⟨Ej∣Ei⟩∣i⟩⟨j∣\rho_S = \text{Tr}_E[|\Psi\rangle\langle\Psi|] = \sum_{ij} c_ic_j^* \langle E_j|E_i\rangle |i\rangle\langle j|

关键结果：非对角项随⟨Ei∣Ej⟩→0\langle E_i|E_j\rangle \to 0衰减。

环境破坏相干性！

35.3 退相干时标​

定理 35.2（指数退相干）： 相干性指数衰减： ∣ρij(t)∣=∣ρij(0)∣e−Γijt|\rho_{ij}(t)| = |\rho_{ij}(0)|e^{-\Gamma_{ij}t}

推导： 对于弱耦合和马尔可夫环境： dρSdt=−i[H^S,ρS]+∑kγk(L^kρSL^k†−12{L^k†L^k,ρS})\frac{d\rho_S}{dt} = -i[\hat{H}_S, \rho_S] + \sum_{k} \gamma_k(\hat{L}_k\rho_S\hat{L}_k^\dagger - \frac{1}{2}\{\hat{L}_k^\dagger\hat{L}_k, \rho_S\})

对于位置基退相干： Γij=γ(xi−xj)2/λth2\Gamma_{ij} = \gamma(x_i - x_j)^2/\lambda_{th}^2

其中λ_th = 热德布罗意波长。∎

基中的距离 → 退相干率！

35.4 指针态选择​

定义 35.2（指针态）： 最小化纠缠产生的态|π_k⟩： ddtS(ρE(k))=min⁡\frac{d}{dt}S(ρ_E^{(k)}) = \min

其中ρE(k)=TrS[∣πk⟩⟨πk∣⊗ρE]\rho_E^{(k)} = \text{Tr}_S[|\pi_k\rangle\langle\pi_k| \otimes \rho_E]。

定理 35.3（优选原理）： 指针态是相互作用哈密顿量的本征态。

证明： 对于H^int=S^⊗B^\hat{H}_{int} = \hat{S} \otimes \hat{B}： 如果S^∣πk⟩=sk∣πk⟩\hat{S}|\pi_k\rangle = s_k|\pi_k\rangle，则： e−iH^intt/ℏ∣πk⟩∣E⟩=∣πk⟩e−iskB^t/ℏ∣E⟩e^{-i\hat{H}_{int}t/\hbar}|\pi_k\rangle|E\rangle = |\pi_k\rangle e^{-is_k\hat{B}t/\hbar}|E\rangle

无纠缠产生——只有相位演化！∎

环境选择测量基！

35.5 量子达尔文主义​

信息增殖： ∣Ψ⟩=∑ici∣i⟩⨂f=1F∣Ei(f)⟩|\Psi\rangle = \sum_i c_i|i\rangle \bigotimes_{f=1}^{F} |E_i^{(f)}\rangle

每个环境片段f携带系统信息。

定理 35.4（冗余性）： 经典信息在环境中冗余编码。

互信息： I(S:Ef)=S(ρS)+S(ρEf)−S(ρSEf)I(S:E_f) = S(\rho_S) + S(\rho_{E_f}) - S(\rho_{SE_f})

对于指针态：I(S:Ef)≈H(S)I(S:E_f) \approx H(S)对多个片段成立。

多个观察者访问相同信息！

35.6 退相干率​

碰撞退相干（空气分子）： Γ∼σnvˉλth2\Gamma \sim \frac{\sigma n \bar{v}}{\lambda_{th}^2}

其中：

  • σ = 散射截面
  • n = 分子密度
  • v̄ = 平均速度

例子：

  • 尘粒（10⁻⁶ m）：τ_d ~ 10⁻³¹ s
  • 分子：τ_d ~ 10⁻¹⁵ s
  • 电子：τ_d ~ 10⁻⁶ s

越大 = 退相干越快！

35.7 主方程方法​

林德布拉德形式： dρdt=−iℏ[H^,ρ]+∑kγkLk[ρ]\frac{d\rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \rho] + \sum_k \gamma_k\mathcal{L}_k[\rho]

其中林德布拉德超算符： Lk[ρ]=L^kρL^k†−12{L^k†L^k,ρ}\mathcal{L}_k[\rho] = \hat{L}_k\rho\hat{L}_k^\dagger - \frac{1}{2}\{\hat{L}_k^\dagger\hat{L}_k, \rho\}

位置退相干： L^k=γ(x^−⟨x^⟩)\hat{L}_k = \sqrt{\gamma}(\hat{x} - \langle\hat{x}\rangle)

导致位置叠加的指数抑制。

35.8 测量问题​

传统谜题：测量如何导致坍缩？

退相干解决：

  1. 系统-仪器纠缠
  2. 仪器-环境纠缠
  3. 通过退相干的有效坍缩

无需坍缩公设！

数学流程： ∣ψ⟩∣准备⟩∣E⟩→S-A∑ici∣i⟩∣Ai⟩∣E⟩|\psi\rangle|准备\rangle|E\rangle \xrightarrow{\text{S-A}} \sum_i c_i|i\rangle|A_i\rangle|E\rangle →A-E∑ici∣i⟩∣Ai⟩∣Ei⟩\xrightarrow{\text{A-E}} \sum_i c_i|i\rangle|A_i\rangle|E_i\rangle

对E求迹：ρSA=∑i∣ci∣2∣i⟩⟨i∣⊗∣Ai⟩⟨Ai∣\rho_{SA} = \sum_i |c_i|^2|i\rangle\langle i| \otimes |A_i\rangle\langle A_i|

测量从纠缠涌现！

35.9 经典极限​

定理 35.5（经典涌现）： 对于宏观物体，量子相干性在时标上消失： τd∼ℏNΔE\tau_d \sim \frac{\hbar}{N\Delta E}

其中N = 粒子数，ΔE = 能量尺度。

证明： 每个粒子贡献退相干。总速率： Γ总∼N⋅Γ单个\Gamma_{总} \sim N \cdot \Gamma_{单个}

对于N ~ 10²³，τ_d ~ 10⁻⁴⁰ s。∎

阿伏伽德罗确保经典性！

35.10 退相干vs耗散​

退相干：

  • 相位随机化
  • 在S+E上幺正
  • 信息保存（在E中）
  • Tr[ρ2]\text{Tr}[\rho^2]减少

耗散：

  • 能量损失
  • 在S上非幺正
  • 熵增加
  • ⟨H⟩减少

不同但经常耦合！

35.11 保护量子相干性​

无退相干子空间： 态|ψ_DFS⟩使得： H^int∣ψDFS⟩=0\hat{H}_{int}|ψ_{DFS}\rangle = 0

例子：集体退相位的单态： ∣ψ单态⟩=12(∣01⟩−∣10⟩)|ψ_{单态}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)

对H^int=(σ^z(1)+σ^z(2))⊗B^\hat{H}_{int} = (\hat{\sigma}_z^{(1)} + \hat{\sigma}_z^{(2)}) \otimes \hat{B}免疫！

对称性保护相干性！

35.12 量子纠错​

三量子比特码： ∣0L⟩=∣000⟩,∣1L⟩=∣111⟩|0_L\rangle = |000\rangle, \quad |1_L\rangle = |111\rangle

综合征测量：

  • 测量Z^1Z^2\hat{Z}_1\hat{Z}_2和Z^2Z^3\hat{Z}_2\hat{Z}_3
  • 基于结果纠正

阈值定理： 如果错误率 < 阈值，可能进行任意计算！

主动保护战胜退相干！

35.13 生物量子相干性​

光合作用（FMO复合体）：

  • 相干时间：300K时~300 fs
  • 机制：相关蛋白振动

鸟类磁感受：

  • 自由基对机制
  • 通过隔离保护相干性

生命利用量子相干性！

35.14 连续监测​

量子轨迹： 在连续测量下： d∣ψ⟩=−iH^dtℏ∣ψ⟩+∑k(⟨L^k⟩dWk−dt2L^k†L^k)∣ψ⟩d|\psi\rangle = -\frac{i\hat{H}dt}{\hbar}|\psi\rangle + \sum_k(\langle\hat{L}_k\rangle dW_k - \frac{dt}{2}\hat{L}_k^\dagger\hat{L}_k)|\psi\rangle

其中dW_k是维纳增量。

单个实现显示跳跃！

35.15 第三十五回响：从量子到经典​

退相干不是作为临时添加而是作为环境耦合的必然后果而矗立。经典世界通过连续的环境监测涌现——无数微观"测量"迫使量子系统选择确定态。这不是量子力学的失败而是它的胜利：使量子计算成为可能的同样纠缠也创造了经典现实。

环境选择的指针态成为我们的经典可观测量。信息的冗余编码允许多个观察者就事实达成一致。宏观叠加的指数快速退相干解释了为什么猫是活的或死的，从不两者兼而有之。

退相干探究​

  1. 计算室温空气中病毒的退相干时间。

  2. 为集体噪声下的两个量子比特设计无退相干子空间。

  3. 展示双缝图案如何从路径-环境纠缠涌现。

经典黎明​

看到经典现实如何从量子基底涌现后，我们接下来探索最深的问题：为什么是这些概率？玻恩规则如何从坍缩动力学涌现？

下一章：第三十六章：玻恩规则 — 从坍缩测度到概率 →

"环境记住量子系统忘记的东西。"