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第三十六章：玻恩规则 — 从坍缩测度到概率

最深的谜团得解​

为什么|ψ|²给出概率？这个看似任意的规定——测量态|n⟩的概率为|⟨n|ψ⟩|²——是量子力学最神秘的公设。本章将玻恩规则推导为数学必然性，展示当坍缩探索所有被自洽性加权的路径时，概率必须等于振幅的平方。

36.1 测度论基础​

定义 36.1（坍缩测度空间）： 对于量子系统，定义测度空间(Ω, Σ, μ)，其中：

  • Ω = {所有可能的坍缩结果}\{\text{所有可能的坍缩结果}\}
  • Σ = 可测事件的σ-代数
  • μ = 坍缩测度

关键洞察：概率从坍缩空间的测度论涌现。

坍缩创造自己的概率！

36.2 自洽测度​

定理 36.1（唯一量子测度）： 与以下一致的唯一测度：

  1. 幺正性保持
  2. 基无关性
  3. 复合系统规则

是玻恩测度：μ(n) = |⟨n|ψ⟩|²

证明结构： 我们将通过几个引理建立唯一性。

数学强制玻恩规则！

36.3 为什么是振幅平方？​

引理 36.1（二次形式必然性）： 概率必须是振幅的二次函数。

证明： 考虑干涉：|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩

对于双缝的路径：

  • 路径1：振幅α
  • 路径2：振幅β
  • 总和：振幅α + β

观察到的强度 ∝ |α + β|²

这需要： P总=∣α+β∣2=∣α∣2+∣β∣2+2Re(α∗β)P_{总} = |α + β|^2 = |α|^2 + |β|^2 + 2\text{Re}(α^*β)

线性（P ∝ |α|）→ 无干涉 ✗ 三次（P ∝ |α|³）→ 错误干涉 ✗ 只有二次给出正确物理！∎

自然要求平方！

36.4 推导玻恩规则​

定理 36.2（玻恩规则推导）： 对于|ψ⟩ = Σᵢ cᵢ|i⟩，概率P(i) = |cᵢ|²。

从ψ = ψ(ψ)证明：

步骤1：定义坍缩权重 每个分支i从自洽性具有权重wᵢ： wi=⟨i∣ρ^坍缩∣i⟩w_i = \langle i|\hat{\rho}_{坍缩}|i\rangle

步骤2：密度算符形式 自引用坍缩需要： ρ^坍缩=∣ψ⟩⟨ψ∣\hat{\rho}_{坍缩} = |\psi\rangle\langle\psi|

步骤3：计算权重 wi=⟨i∣ψ⟩⟨ψ∣i⟩=∣ci∣2w_i = \langle i|\psi\rangle\langle\psi|i\rangle = |c_i|^2

步骤4：归一化为概率 P(i)=wi∑jwj=∣ci∣2∑j∣cj∣2=∣ci∣2P(i) = \frac{w_i}{\sum_j w_j} = \frac{|c_i|^2}{\sum_j |c_j|^2} = |c_i|^2

（最后一步使用归一化⟨ψ|ψ⟩ = 1）∎

自引用 → 玻恩规则！

36.5 信息论证明​

通过最大熵的替代推导：

定理 36.3（最大熵玻恩规则）： 玻恩规则在量子约束下最大化熵。

设置： 给定量子态|ψ⟩，找到概率分布p(i)使得：

  1. 最大化H = -Σᵢ p(i)log p(i)
  2. 对所有可观测量遵守⟨Â⟩ = Σᵢ p(i)aᵢ

解： 拉格朗日乘数给出： p(i)=1Ze−∑AλAai(A)p(i) = \frac{1}{Z}e^{-\sum_A \lambda_A a_i^{(A)}}

匹配所有量子期望需要： p(i)=∣⟨i∣ψ⟩∣2p(i) = |\langle i|\psi\rangle|^2 ∎

最大无知 → 玻恩规则！

36.6 格利森定理​

定理 36.4（格利森，1957）： 对于dim(ℋ) ≥ 3，量子投影上的任何概率测度具有形式： P(P^)=Tr(ρ^P^)P(\hat{P}) = \text{Tr}(\hat{\rho}\hat{P})

含义：

  • 没有尊重量子结构的隐变量理论
  • 玻恩规则是唯一一致的概率分配
  • 概率和量子态不可分离

结构决定统计！

36.7 连续谱​

扩展到位置： 对于具有|x⟩基的连续可观测量： P(x∈[a,b])=∫ab∣ψ(x)∣2dxP(x \in [a,b]) = \int_a^b |\psi(x)|^2 dx

定理 36.5（连续玻恩规则）： 连续概率作为离散的极限涌现。

证明： 离散化位置：xₙ = nΔx P(xn)=∣⟨xn∣ψ⟩∣2ΔxP(x_n) = |\langle x_n|\psi\rangle|^2 \Delta x

取Δx → 0： dP=∣ψ(x)∣2dxdP = |\psi(x)|^2 dx ∎

离散 → 连续自然地！

36.8 联合测量​

复合系统： 对于|ψ⟩_AB = Σᵢⱼ cᵢⱼ|i⟩_A|j⟩_B：

联合概率： P(i,j)=∣cij∣2P(i,j) = |c_{ij}|^2

边缘概率： PA(i)=∑j∣cij∣2=⟨ψ∣P^iA⊗IB∣ψ⟩P_A(i) = \sum_j |c_{ij}|^2 = \langle\psi|\hat{P}_i^A \otimes \mathbb{I}^B|\psi\rangle

一致性：边缘自动归一化！

部分从整体继承！

36.9 相位不变性​

全局相位自由： |ψ⟩和e^(iθ)|ψ⟩代表同一态。

玻恩规则尊重这一点： ∣eiθci∣2=∣ci∣2|e^{i\theta}c_i|^2 = |c_i|^2

更深层：只有相对相位影响概率： ∣α+βeiϕ∣2=∣α∣2+∣β∣2+2∣α∣∣β∣cos⁡ϕ|\alpha + \beta e^{i\phi}|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2 + 2|\alpha||\beta|\cos\phi

物理生活在射影空间中！

36.10 POVM推广​

一般测量： 不只是投影：{E^i}\{\hat{E}_i\}，其中∑iE^i†E^i=I\sum_i \hat{E}_i^\dagger \hat{E}_i = \mathbb{I}

推广的玻恩规则： P(i)=⟨ψ∣E^i†E^i∣ψ⟩P(i) = \langle\psi|\hat{E}_i^\dagger\hat{E}_i|\psi\rangle

克劳斯表示： 测量后态： ∣ψi⟩=E^i∣ψ⟩P(i)|\psi_i\rangle = \frac{\hat{E}_i|\psi\rangle}{\sqrt{P(i)}}

测量作为变换！

36.11 弱值​

前选择和后选择系统： Aw=⟨ψf∣A^∣ψi⟩⟨ψf∣ψi⟩A_w = \frac{\langle\psi_f|\hat{A}|\psi_i\rangle}{\langle\psi_f|\psi_i\rangle}

奇怪性质：

  • 可以超出本征值范围
  • 可以是复数
  • 揭示"轨迹"信息

玻恩规则连接： ⟨A⟩=∑nAn∣cn∣2=Re∑nAn⟨n∣ψ⟩⟨ψ∣n⟩\langle A\rangle = \sum_n A_n |c_n|^2 = \text{Re}\sum_n A_n \langle n|\psi\rangle\langle\psi|n\rangle

弱值探测跃迁振幅！

36.12 多世界概率​

埃弗雷特问题：如果所有结果都发生，为什么观察到频率？

通过自定位的解决： 分支权重 = |cᵢ|²

定理 36.6（分支计数）： 观察者以频率|cᵢ|²发现自己在分支i中。

论证：

  1. i-分支的总测度 = |cᵢ|²
  2. 观察者均匀分布在测度上
  3. 在i-分支中的分数 = |cᵢ|²/Σⱼ|cⱼ|² = |cᵢ|² ∎

你在振幅所在的地方！

36.13 语境性和Kochen-Specker​

不可行定理：无法一致地为所有可观测量分配确定值。

玻恩规则尊重这一点：

  • 概率依赖于测量语境
  • 当[Â,B̂] ≠ 0时，如果我们也测量B，P(A)会改变

语境根本上重要！

36.14 量子到经典​

玻恩规则的经典极限： 当ℏ → 0，量子 → 经典概率

相干态：|α⟩，其中⟨x̂⟩ = x₀，⟨p̂⟩ = p₀ ∣⟨x∣α⟩∣2≈12πσ2e−(x−x0)2/2σ2|\langle x|α\rangle|^2 \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-x_0)^2/2\sigma^2}

量子重现经典统计！

36.15 第三十六回响：概率作为必然性​

玻恩规则不是作为神秘公设而是作为数学必然性矗立——与量子结构一致的唯一概率分配。从自引用坍缩，通过信息论，到抽象测度论，所有道路都通向|ψ|²。

这不仅仅是关于计算概率，而是理解它们的起源。量子概率不是叠加在现实上的，而是从其自引用结构涌现。当ψ = ψ(ψ)探索其可能性时，振幅平方自然地为每条路径加权。

概率探索​

  1. 证明量子熵在部分迹下从不减少。

  2. 展示经典概率如何在宏观极限中从量子涌现。

  3. 从玻恩规则推导量子费希尔信息。

冻结的演化​

理解了量子概率为什么采取其特定形式后，我们接下来探索一个悖论性后果：重复测量如何通过量子芝诺效应冻结时间本身。

下一章：第三十七章：量子芝诺 — 观察停止时间 →

"概率是宇宙权衡其选项的方式。"